Diario delle lezioni (AA 14-15)
(“Si quid forte minus aut plus iusto vel necessario
intermisi, mihi deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et in
omnibus undique sit circumspectus”, Leonardo
Pisano, Liber Abaci)
"Thanne longen folk to goon on pilgrimages,
And palmeres for to seken straunge strondes,..."
G. Chaucer, The
In questo spazio saranno annotati, più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione. Tra parentesi quadre i riferimenti alla bibliografia. I principali testi di riferimento sono i primi due. Gli altri della lista sono comunque dei testi consigliati. Gli studenti sono invitati a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste pagine che sul libro di testo.
22 settembre 2014 Lezione 1
Introduzione al corso. Cenni
storici sull'algebra lineare e sulla geometria.
Problema delle parallele.
Girolamo Saccheri (1667-1733), J. Bolyai (1802-1860), N. Lobachevsky
(1792-1856). Eugenio Beltrami (1835-1899). Geometrie non euclidee.
Esercizio: studiare la
dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
(Conoscere le definizioni, il procedimento di risoluzione e la dimostrazione
della formula e qualche esempio). Vedere il seguente link per un esempio di applicazione di
matrici alla compressione di immagini.
23 settembre 2014 Lezione 2
Insiemi. Unione, intersezione,
complementare di un insieme. Insieme delle parti. Principio di induzione.
Prodotto cartesiano tra insiemi. Relazioni. [1, Capitolo 1][Sul principio di induzione]
24 settembre 2014 Lezione 3
Se X è un insieme con n elementi
allora esso ha 2n sottoinsiemi.
Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Esempi.
Direzione come classe di rette parallele. Relazioni di congruenza. [1, Capitolo
1]
25 settembre 2014 Lezione 4
Relazioni d'ordine. Insieme
ordinato e insieme totalmente ordinato. Funzioni. Funzioni iniettive,
suriettive. Corrispondenze biunivoche. Composizione di funzioni. Funzioni
invertibili.
[1, Capitolo 1]
26 settembre 2014 Lezione 5
Permutazioni. Permutazioni
pari e dispari. [1, Capitolo 1].
Introduzione ai numeri reali: struttura di campo di R e di Q. Qualche proprietà della relazione
d'ordine di R. Diseguaglianza di
Bernoulli. Completezza di R. [Appunti]
29 settembre 2014 Lezione 6
Introduzione ai numeri
complessi. Struttura di campo di C . Coniugato di un numero
complesso. Modulo di un numero complesso. Proprietà. Rappresentazione dei
complessi come punti di un piano. Forma polare o trigonometrica dei numeri complessi.
Calcolo di potenze di un numero complesso.[ Appunti]
30 settembre 2014 Lezione 7
Radici n-esime di un numero
complesso. Radici dell'unità. Radici primitive. Teorema fondamentale dell'algebra.
Esercizi. [v. appunti della lezione precedente].
Definizione di spazio
vettoriale [1. Capitolo 2]
1 ottobre 2014 Lezione 8
Operazioni nell'insieme Rn. Concetto di spazio
vettoriale. Combinazione lineare. Dipendenza lineare. Generatori. Sottospazio.
Vettori linearmente indipendenti. Base
di uno spazio vettoriale. [1, Capitolo 2]. Esercizi [4, Capitolo 2].
2 ottobre 2014 Lezione 9
Concetto di dimensione. Base
canonica (naturale, standard) di Rn.
Prodotto scalare in Rn.
Introduzione alle matrici. Ordine di una matrice. Struttura di spazio
vettoriale nell'insieme delle matrici. [2, Capitolo 1]. Esercizi [4, Capitolo
2]
3 ottobre 2014 Lezione 10
Trasposizione di matrici e
proprietà. Matrici simmetriche. Introduzione al metodo di eliminazione di Gauss.
Matrice di un sistema lineare. Matrice completa di un sistema. Operazioni
elementari sulle equazioni. [2, Capitolo 1]. [Esercizio da consegnare lunedì mattina: Verificare che il sottoinsieme delle matrici quadrate
di ordine 3 antisimmetriche è un sottospazio vettoriale. Determinarne una base
e la dimensione.]
6 ottobre 2014 Lezione 11
Operazioni elementari sulle
righe di una matrice. Forma a scala di una matrice. Forma a scala ridotta.
Pivot. Metodo di soluzione dei sistemi lineari mediante la riduzione a scala.
[2, Capitolo 1].[Svolgimento
dell'esercizio]
7 ottobre 2014 Lezione 12
Interpretazione di un sistema
secondo le colonne. Rango di una matrice come numero dei pivot. Cenni al
teorema di Rouché-Capelli. Condizione di incompatibilità di un sistema: pivot
nell'ultima colonna della matrice completa o, equivalentemente, rango di A diverso da rango di C. Sistemi omogenei. L'insieme delle
soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio vettoriale di dimensione n-r. [2, Capitolo 1]Esercizio sui sistemi omogenei
8 ottobre 2014 Lezione 13
Moltiplicazione tra matrici:
prodotto righe per colonne. Proprietà del prodotto tra matrici. Ordini
compatibili. Prodotto non commutativo. Matrice identità. Matrici invertibili.
Matrici nilpotenti. [2, Capitolo 1]
9 ottobre 2014 Lezione 14
Algoritmo di inversione. Unicità della matrice inversa. Proprietà
della matrice inversa. Condizioni equivalenti per l'invertibilità. [2, Capitolo
1, (1.5)]Appunti
10 ottobre 2014 Lezione 15
Conclusione della
dimostrazione del teorema sulle condizioni equivalenti. Matrici
elementari. Proprietà delle matrici
elementari. Una matrice è invertibile se
e solo se è il prodotto di matrici elementari. Generalizzazione dell'algoritmo
di inversione. Fattorizzazione di una matrice A. [2, Capitolo 1, 1.6] [Esercizio da consegnare
lunedì mattina]
13 ottobre 2014 Lezione 16
Definizione di determinante
usando i prodotti competenti. Regola di
Sarrus. Primo Teorema di Laplace. [1,
sez.3.3] Operazioni elementari e proprietà del determinante.[2, Capitolo
2]
Qualche commento sull'ultimo esercizio
14 ottobre 2014 Lezione 17
Cofattori
o complementi algebrici. Dimostrazione del Teorema di Binet (o del prodotto).
Determinante della matrice
inversa. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso
da zero. Matrice aggiunta. Formula di aggiunzione. [2, Capitolo 2]
15 ottobre 2014 Lezione 18
Dimostrazione della formula
di aggiunzione. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer. Minori di una
matrice. Rango per minori. [2, Capitolo 2]Appunti
16 ottobre 2014 Lezione 19
Minori principali. Spazio
delle righe e spazio delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per
colonne. Se due matrici sono equivalenti per righe allora hanno lo stesso
spazio delle righe. Il rango per righe di una matrice coincide col suo rango
per pivot e con il rango per colonne. [1, Capitolo 3] Appunti
17 ottobre 2014 Lezione 20
Il rango per minori coincide
con il rango per pivot. Estrazione di una base da un insieme di generatori di Rn. Calcolo delle potenze di
una matrice. Definizione di autovalore, autovettore, polinomio caratteristico.
[2, Sezione 2.3]Esercizio per lunedì
20 ottobre 2014 Lezione 21
Equazione caratteristica.
Calcolo di autovalori e autovettori. Autospazi. [2, Capitolo 2]
21 ottobre 2014 Lezione 22
Matrice diagonalizzabile. Una
matrice è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di Rn composta da
autovettori. Condizione sufficiente per la diagonalizzabilità. Molteplicità
algebrica e geometrica di un autovalore. Condizione necessaria e sufficiente
per la diagonalizzabilità. Esempi di matrici non diagonalizzabili. Algoritmo di diagonalizzazione. Definizione
di matrici simili. [2, Capitolo 2] Appunti
22 ottobre 2014 Lezione 23
Proprietà della similitudine
tra matrici. Traccia di una matrice. Coefficienti del polinomio caratteristico.
Caso di ordine 2. Teorema di Cayley-Hamilton (senza dimostrazione).
Applicazione del teorema al calcolo di potenze di una matrice e al calcolo
dell'inversa. [2, Capitolo 2] Appunti Esercizio 3 con soluzione
23 ottobre 2014 Lezione 24
Vettori applicati.
Definizione di vettori liberi (vettori geometrici) del piano. Operazioni sui
vettori. Spazio vettoriale V2. [1, Capitolo 6]
24 ottobre 2014 Lezione 25
Coordinate cartesiane
ortogonali. Identificazione di V2
con M(2x1) (Isomorfismo) .
Condizione di allineamento di tre punti. Dipendenza lineare di vettori e suo
significato geometrico. Base ortogonale di
V2 . Equazione
cartesiana della retta. Equazioni parametriche. Passaggio dalle equazioni
parametriche all'equazione cartesiana e viceversa. Parametri direttori.
Condizione di parallelismo tra vettori. [1, Capitolo 6].
27 ottobre 2014 Lezione 26
Prodotto scalare in V2 .
Formula intrinseca. Coefficiente di Fourier. Proiezione ortogonale di un
vettore lungo la direzione di un altro vettore. Interpretazione geometrica del
prodotto scalare tra vettori geometrici. [1, Capitolo 6]
28 ottobre 2014 Lezione 27
Formula per il coseno di un
angolo tra due vettori. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra
due rette. Distanza punto-retta. Area
del triangolo in funzione delle coordinate dei vertici. [1, Capitolo 6]
29 ottobre 2014 Lezione 28
Angolo tra due rette. Rette
orientate. Coseni direttori. Circonferenze. [1, Capitolo 6]
30 ottobre 2014 Lezione 29
Introduzione alle coniche.
Coniche in forma canonica definite a partire da un fuoco, dall'eccentricità e
da una direttrice. Caso dell'eccentricità minore di 1: ellisse. [1, Capitolo 6]
Appunti su circonferenza e ellisse
31 ottobre 2014 Lezione 30
Caso dell'eccentricità
maggiore di 1: iperbole. Caso dell'eccentricità uguale a 1: parabola. Matrice
del cambiamento di coordinate di vettore. Matrice ortogonale.
[1, Capitolo 6] Appunti
su iperbole e parabola
3 novembre 2014 Lezione 31
Formule del cambiamento di
coordinate di punto. Coniche generali e coniche degeneri. Matrice di una
conica. Teorema di classificazione delle coniche. Punti impropri. Coordinate
omogenee. Coordinate omogenee di punti impropri. Cambiamenti di
riferimento
4 novembre 2014 Lezione 32
Retta e piano ampliato.
Equazione della retta impropria. Classificazione delle coniche attraverso l'intersezione
con la retta impropria. Centro di una conica. Ricerca dei punti doppi di una
conica e determinante della matrice della conica. Ampliamento
del piano
5 novembre 2014Lezione 33
Riduzione in forma canonica
delle coniche. Caso delle coniche a centro. Caso delle parabole. Asse di
simmetria della parabola. Metodo degli invarianti. [1, Capitolo 7]
6 novembre 2014 Lezione annullata. Università chiusa
per maltempo.
7 novembre 2014 Lezione 34
Uso del metodo degli
invarianti con coniche a centro e con parabole. Curve in coordinate polari.
Equazioni delle coniche in coordinate polari con fuoco nell'origine.
Introduzione alla geometria
analitica dello spazio tridimensionale. Equazione cartesiana di un piano.
[1,Capitolo 8] Errata corrige di alcuni
esercizi presi da[4] Svolgimento dell'esempio
7.5.3 dal testo Coordinate polari
10 novembre 2014 Lezione 35
Terne equiverse e contraverse
di vettori. Definizione del prodotto vettoriale. Proprietà. Formula per il
calcolo del prodotto vettoriale. Interpretazione del modulo del prodotto
vettoriale come area di un parallelogramma. Prodotto misto. Formula per il
calcolo del prodotto misto. Interpretazione del modulo del prodotto misto come
volume di un parallelepipedo.
Equazione cartesiana e
parametrica di una retta nello spazio. [1, Capitolo 8] Errata corrige di alcuni esercizi presi da[4]
Appunti sul prodotto vettoriale e
misto
11 novembre 2014 Lezione 36
Equazione della retta in
forma di rapporti uguali. Parametri direttori di una retta. Formule per i
parametri direttori. Condizione di parallelismo tra due piani. Significato
geometrico dei parametri di giacitura di un piano. Condizione di
perpendicolarità di piani. [1, Capitolo 8]
12 novembre 2014 Lezione 37
Condizione di parallelismo
retta-piano. Condizione di perpendicolarità retta-piano. Condizione di
complanarità di due rette. Condizione di complanarità di due rette date in
equazioni ridotte. Rette sghembe.
Formula per la distanza di due rette parallele. [1, Capitolo 8]
13 novembre 2014 Lezione 38
Formula per la distanza di
due rette sghembe. Metodo dei punti mobili. Distanza punto-piano. Distanza tra
due piani paralleli. Equazione di una sfera.
[1, Capitolo 8]
14 novembre 2014 Lezione 39
Piano tangente ad una sfera.
Circonferenza nello spazio. Definizione di superficie quadrica. Quadriche in
forma canonica. Qualche esempio di quadrica degenere.
[1, Capitolo 8]
17 novembre 2014 Lezione 40
Concetto di spazio vettoriale
in generale. Esempi vari. Caratterizzazioni del concetto di base di uno spazio
vettoriale. Esistenza di una base di uno spazio vettoriale finitamente
generato. Esempi di spazi di dimensione infinita. Teorema fondamentale o Lemma
di Scambio. [1, Capitolo 11][2, Capitolo 5] Spazi vettoriali generali
18 novembre 2014 Lezione 41
Conseguenze del teorema
fondamentale. Teorema di Invarianza. Base come insieme minimale di generatori o
insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Intersezione di
sottospazi. Spazio somma. Formula di Grassmann (senza dim.). Equazioni
cartesiane di un sottospazio. [1, Capitolo 11] [2, Capitolo 5] Esercizio
19 novembre 2014 Lezione 42
Trasformazioni lineari. Esempi.
Trasformazioni lineari indotte da una matrice. Trasformazioni lineari di V2:
rotazioni, proiezioni e riflessioni. [1, pagina 90 e Capitolo 12], [2,
paragrafo 3.5.2 e Capitolo 5]
20 novembre 2014 Lezione 43
Nucleo e immagine di una applicazione
lineare. Caratterizzazione di applicazioni lineari iniettive e suriettive
mediante il nucleo e l'immagine. Teorema delle dimensioni. [1, Capitolo 12] [2,
Capitolo 5] Esercizio
21 novembre 2014 Lezione 44
Dimostrazione del teorema
delle dimensioni. Esempi. Coordinate di un vettore rispetto ad una base
ordinata fissata. Matrice associata ad una applicazione lineare. [1, Capitolo
12] [2, Capitolo 5]
24 novembre 2014 Lezione 45
Isomorfismo di uno spazio
vettoriale di dimensione n e Kn. Esempi di
matrici associate ad applicazioni lineari. Caso di un endomorfismo. La matrice associata all'applicazione inversa
coincide con l'inversa della matrice. La matrice della composizione di due
applicazioni lineari coincide col prodotto delle matrici.
[1,Capitolo 12] [2,Capitolo
5] Coordinate
25 novembre 2014 Lezione 46
Matrice del cambiamento di
base. Matrici di uno stesso endomorfismo sono simili.
Determinante, traccia,
polinomio caratteristico di un endomorfismo. Diagonalizzazione
di un endomorfismo.
[1,Capitolo 12][2,Capitolo 5]
26 novembre 2014 Lezione 47
Dimostrazione che matrici di
uno stesso endomorfismo sono simili. Esercizi su diagonalizzazione.
[1, Capitolo 12] [2, Capitolo 5] Diagonalizzazione di un endomorfismo
27 novembre 2014 Lezione 48
Spazi euclidei. Base
ortonormale. Esistenza di basi ortonormali: procedimento di Gram-Schmidt.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. [1, Capitolo 15][2,
Sezione 4.5]
28 novembre 2014 Lezione 49
Sviluppo di Fourier di un
vettore rispetto ad una base ortonormale.
Proiezione ortogonale come endomorfismo.
Complemento ortogonale di un sottospazio di Rn. Somma diretta.
Teorema dell'approssimazione.[1, Capitolo 15] [2, Sezione 4.5] Appunti
1 dicembre 2014 Lezione 50
Dimostrazione del Teorema
dell'approssimazione. Proprietà delle matrici simmetriche. Diagonalizzazione
ortogonale. [1, Capitolo 15] [2, Sezione 4.5]
2 dicembre 2014 Lezione 51
Esercizi su diagonalizzazione ortogonale. Teorema degli assi
principali.[2, Sezione 4.7] Appunti
3 dicembre 2014 Lezione 52
Forme quadratiche. Matrici
simmetriche associate alle forme quadratiche. Diagonalizzazione
di forme quadratiche. Matrici definite positive (negative), semidefinite
positive (negative), indefinite. Criteri. [2, Sezione 4.8] Appunti
4 dicembre 2014 Lezione 53
Soluzioni approssimate ai
minimi quadrati di un sistema lineare incompatibile. [2, Sezione 4.6] Appunti
5 dicembre 2014 Lezione 54
Definizione di prodotto
scalare in generale. Esempi di prodotto scalare in vari spazi.
Polinomi interpolatori di Lagrange. [2, Sezione 5.7] Appunti
9 dicembre 2014 Lezione 55
Curve parametriche come
funzioni a valori vettoriali. Derivate
di prodotti scalari e vettoriali. Arco di curva regolare . Riparametrizzazione.
Curva regolare . Curva rettificabile. [1, Capitolo 9]
10 dicembre 2014 Lezione 56
Una curva regolare è
rettificabile. Curve regolari a tratti.
Formula per la lunghezza di una curva regolare. Definizione di ascissa
curvilinea. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. [1, Capitolo 9]
11 dicembre 2014 Lezione 57
Rette secanti e tangenti ad
una curva. Integrale lungo la curva. Curvatura. Formula per la curvatura in
funzione di un parametro arbitrario. [1, Capitolo 9] Appunti
12 dicembre 2014 Lezione 58
Esercizi.
15 dicembre 2014 Lezione 59
Esercizi presi dalla lista.
16 dicembre 2014 Lezione 60
Esercizi
Buon Natale e Buone feste a
tutti.
Bibliografia (i
primi due della lista sono i libri di testo veri e propri. Gli altri possono
essere di utile consultazione)
1. S. Capparelli – A. Del Fra: Geometria,
Esculapio, 2010 Errata
Corrige del testo
2. W. Keith Nicholson: Algebra
Lineare, dalle applicazioni alla teoria, McGraw-Hill 2002
Un libro in lingua inglese, gratuito, disponibile liberamente in rete, che contiene la parte di algebra lineare, ma non la parte di geometria analitica, si trova al seguente link:
(a linear
algebra book freely available on the Internet):