Seminario
Aula 1B1, Pal. RM002
Paolo Antonini (SISSA, Trieste)
Operatori ellittici e segnatura delle varietà
Sunto:
La segnatura di una varietà orientata è un importante invariante topologico che gioca un ruolo fondamentale in geometria. Il teorema di Atiyah-Singer ha mostrato che possiede un forte legame con l'analisi degli operatori ellittici. In particolare esiste un operatore differenziale ellittico del primo ordine, radice quadrata del laplaciano di Hodge di una metrica riemanniana il cui indice di Fredholm coincide con la segnatura. Tale operatore è detto operatore di segnatura; la corrispondente formula dell’indice calcola la segnatura come un integrale di quantità esprimibili nella curvatura. Nella prima parte del seminario verranno illustrati i risultati classici per varietà chiuse e per varietà con bordo; in questo caso sono essenziali per l’analisi dell’operatore di segnatura alcune condizioni al bordo non locali. In una seconda parte si parlerà delle generalizzazioni contemporanee: foliazioni misurate, segnature superiori e congettura di Novikov presentando alcuni risultati ottenuti.