Diario delle lezioni (AA
13-14)
(“Si
quid forte minus aut plus iusto
vel necessario intermisi, mihi
deprecor indulgeatur, cum nemo sit qui vitio careat et
in omnibus undique sit circumspectus”,
Leonardo Pisano, Liber
Abaci)
"Thanne longen folk to goon on pilgrimages,
And palmeres for to seken straunge strondes,..."
G. Chaucer, The
In questo spazio saranno annotati,
più o meno quotidianamente e per sommi capi, gli argomenti svolti a lezione.
Tra parentesi quadre i riferimenti alla bibliografia. I principali testi di
riferimento sono i primi due. Gli altri della lista sono comunque dei testi
consigliati. Gli studenti sono invitati
a risolvere gli esercizi proposti e, volendo, sottoporre a me, via posta
elettronica, delle soluzioni da condividere, su questa pagina, con gli altri
studenti del corso. Le soluzioni possono anche essere scritte a mano, ma in
ogni caso devono essere scritte in maniera ordinata e leggibile. Vi ringrazio
inoltre se vorrete segnalare eventuali imprecisioni o errori sia su queste
pagine che sul libro di testo.
30 settembre 2013 Lezione 1
Introduzione al
corso. Cenni storici sull'algebra lineare e sulla geometria.
Problema delle
parallele. Girolamo Saccheri (1667-1733), J. Bolyai (1802-1860), N. Lobachevsky
(1792-1856). Geometrie non euclidee.
Esercizio:
studiare la dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo
grado. (Conoscere le definizioni, il procedimento di risoluzione e la
dimostrazione della formula).
1 ottobre 2013 Lezione 2
Insiemi. Unione,
intersezione, complementare di un insieme. Insieme delle parti. Prodotto
cartesiano tra insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza. Classi di
equivalenza. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive. [1, Capitolo 1].
2 ottobre 2013 Lezione 3
Funzioni. Funzioni
iniettive, suriettive. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili.
Operazioni. Permutazioni. Permutazioni pari e dispari. [1, Capitolo 1].
3 ottobre 2013 Lezione 4
Operazioni
nell'insieme Rn.
Concetto di spazio vettoriale. Combinazione lineare. [1, Capitolo 2].
4 ottobre 2013 Lezione 5
Dipendenza
lineare. Generatori. Sottospazio. Vettori linearmente indipendenti. [1,Capitolo
2], Esercizi [4, Capitolo 2]
7 ottobre 2013 Lezione 6
Base di uno spazio
vettoriale. Concetto di dimensione. Base canonica (naturale, standard) di Rn.
Prodotto scalare in Rn.
[1,Capitolo 2], Esercizi [4, Capitolo 2]
8 ottobre 2013 Lezione 7
Introduzione alle
matrici. Ordine di una matrice. Struttura di spazio vettoriale nell'insieme
delle matrici. [2, Capitolo 1]. Trasposizione di matrici e proprietà. Matrici
simmetriche.
Introduzione al
metodo di eliminazione di Gauss. [2, Capitolo 1].
9 ottobre 2013 Lezione 8
Operazioni elementari
sulle righe di una matrice. Forma a scala di una matrice. Forma a scala
ridotta. Pivot. Rango di una matrice come numero dei pivot. Metodo di soluzione
dei sistemi lineari mediante la riduzione a scala. Cenni al teorema di Rouché-Capelli [2, Capitolo 1].
10 ottobre 2013 Lezione 9
Moltiplicazione
tra matrici. Proprietà del prodotto tra matrici. Ordini compatibili. Prodotto
non commutativo. Matrice identità. Matrici invertibili. Matrici nilpotenti. [2, Capitolo 1]
11 ottobre 2013 Lezione 10
Condizione di
incompatibilità di un sistema: pivot nell'ultima colonna della matrice completa
o equivalentemente rango di A diverso da rango di C.
Sistemi omogenei. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un
sottospazio vettoriale di dimensione n-r. Moltiplicazione
a blocchi di matrici. Interpretazione di un sistema AX=B secondo le colonne della
matrice A. [2, Capitolo 1]
14 ottobre 2013 Lezione 11
Esercizi di pagina
52 di [2]. Matrice invertibile di ordine 2.
15 ottobre 2013 Lezione 12
Algoritmo di
inversione. Proprietà dell'inversione di matrici. Unicità della matrice
inversa. Inversa di un prodotto. Condizioni di invertibilità di una matrice.
[2, Capitolo 1].
16 ottobre 2013 Lezione 13
Matrici
elementari. Una matrice è invertibile se e solo se è il prodotto di matrici
elementari. Introduzione alla decomposizione LU. [2, Capitolo 1; 1, Sezione
3.8]
17 ottobre 2013 Lezione 14
Risoluzione di un
sistema di equazioni lineari mediante la decomposizione LU.
Definizione di
determinante di una matrice quadrata. Primo Teorema di Laplace. [2,Capitolo 2;
1, Capitolo 3]
18 ottobre 2013 Lezione 15
Definizione di
determinante usando i prodotti competenti.
Regola di Sarrus. Primo Teorema di Laplace.
[1, sez.3.3]
Cofattori o complementi algebrici. Determinante della matrice
trasposta. [2, Capitolo 2]
Operazioni elementari e proprietà del determinante. Teorema di Binet (o del prodotto).
21 ottobre 2013 Lezione 16
Determinante della
matrice inversa. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso
da zero. Matrice aggiunta. Formula per la matrice inversa. Regola di Cramer.
22 ottobre 2013 Lezione 17
Formula di
aggiunzione. Dimostrazione del teorema di Binet
mediante matrici elementari. Introduzione alla diagonalizzazione
di matrici. Definizione di autovalore e autovettore. Polinomio caratteristico ed equazione
caratteristica. [2,Capitolo 2]
23 ottobre 2013 Lezione 18
Matrici simili.
Relazione di similitudine. Matrice diagonalizzabile. Autovalori e autovettori.
Polinomio caratteristico. Equazione caratteristica. Esempi di ordine 2. [2,
Capitolo 2]
24 ottobre 2013 Lezione 19
Cenni sui numeri
complessi. Operazioni con i numeri complessi. Coniugato. Modulo. Forma
trigonometrica di un numero complesso. Potenze e radici n-esime. [2, Capitolo
2. v. anche http://www.ateneonline.it/nicholson/studenti/AppendiceA.pdf;
può inoltre essere utile l'appendice A del libro: Introduzione alla Geometria e
all'algebra lineare, di Paolo Maroscia, ed.
Zanichelli]
25 ottobre 2013 Lezione 20
Ancora sulla diagonalizzazione di matrici. Matrici diagonalizzabili
e matrici non diagonalizzabili. Molteplicità
algebrica e molteplicità geometrica. [2, Capitolo 2]
28 ottobre 2013 Lezione 21
Ancora sulle
proprietà della similitudine di matrici. Teorema di Cayley-Hamilton.
Calcolo dell'inversa tramite il Teorema di Cayley-Hamilton.
Successioni definite per ricorrenza. Successione di Fibonacci. [2, Capitolo 2] Esempio di successione definita
per ricorrenza
29 ottobre 2013 Lezione 22
Calcolo delle
potenze di una matrice mediante il Teorema di Cayley-Hamilton. Rango per righe. Rango per colonne. Rango per
minori. Teorema degli orlati. Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari.
[1, Capitolo 3]
30 ottobre 2013 Lezione 23
Definizione di
vettori liberi del piano. Spazio vettoriale V2. Coordinate
cartesiane ortogonali. Identificazione di V2 con M(2x1) . Condizione di allineamento di
tre punti. Dipendenza lineare di vettori e suo significato geometrico.
Equazione cartesiana della retta. [1, Capitolo 6].
31 ottobre 2013 Lezione 24
Prodotto scalare
in V2 . Formula per il coseno. Parametri direttori e coseni
direttori. Passaggio dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana e
viceversa. [1, Capitolo 6].
1 novembre 2013 Vacanza
4 novembre 2013 Lezione 25
Condizione di
parallelismo e di perpendicolarità di due rette. Area di un triangolo. Formula
per la distanza punto-retta. [1, Capitolo 6].
5 novembre 2013 Lezione 26
Circonferenze.
Cambiamento di coordinate. Base ortonormale. Matrice del cambiamento di
coordinate. Matrici ortogonali. [1,Capitolo 6]
6 novembre 2013 Lezione 27
Cambiamento di
coordinate di vettore e di punto. Appunti
7 novembre 2013 Lezione 28
Applicazioni
lineari. Esempi di applicazioni lineari e non lineari. Matrice standard di una
applicazione lineare. Isometrie. Rotazioni. Riflessioni. Proiezione ortogonale.
Coefficiente di Fourier. [1, Capitolo 6],[ 2, Capitolo 3.5]
8 novembre 2013 Lezione 29
Corrispondenza tra
applicazioni lineari e matrici. Composizione di applicazioni e prodotto di
matrici. [2, Capitolo 3.5]
Introduzione alle
coniche. Definizione dell'ellisse, parabola, iperbole come luoghi geometrici
mediante l'eccentricità. (Vi invito a sperimentare con http://cs.jsu.edu/~leathrum/Mathlets/conics.html#instr)
11 novembre 2013 Lezione 30
Coniche in
equazione canonica. [1, Capitolo 6]
12 novembre 2013 Lezione 31
Fascio di rette
proprio e improprio. Teorema di Classificazione delle coniche: coniche generali
e degeneri; ellisse, iperbole, parabola. [1, Capitolo 7]. Ampliamento del
piano. Coordinate omogenee. Retta ampliata e piano ampliato. Retta impropria. Esempio di classificazione
13 novembre 2013 Lezione 32
Intersezione della
retta impropria con una conica. Condizione necessaria e sufficiente affinché
una conica sia generale. Centro di una conica. [1, Capitolo 7] Appunti
14 novembre 2013 Lezione 33
Riduzione a forma
canonica di una conica a centro. Riduzione a forma canonica di una parabola.
Equazione dell'asse di simmetria. Studio e significato degli autovettori e autovalori della
matrice A00. [1, Capitolo 7] Appunti
15 novembre 2013 Lezione 34
Introduzione alla
geometria analitica dello spazio. Spazio vettoriale V3. Coordinate
cartesiane ortogonali nello spazio. Vettori geometrici linearmente dipendenti
se e solo se complanari.
Basi equiverse e contraverse.
Definizione di prodotto vettoriale. Prime proprietà. Formula per il calcolo del
prodotto vettoriale. [1, Capitolo 8] [2, Paragrafo 3.4] (vedere anche la figura
dinamica alla pagina http://www.dmmm.uniroma1.it/~stefano.capparelli/didattica/Geometria%2013-14/Geometria13-14.htm]
18 novembre 2013 Lezione 35
Significato
geometrico del modulo del prodotto vettoriale. Prodotto misto. Formula per il
prodotto misto e significato geometrico del prodotto misto. Condizione
analitica affinché quattro punti o tre vettori siano complanari. Equazione
cartesiana di un piano. Vettore normale al piano. Condizione di parallelismo
tra due piani. [1, Capitolo 8] [2, Capitolo 3].
19 novembre 2013 Lezione 36
Condizione di
perpendicolarità tra due piani. Equazione cartesiana di una retta in forma
parametrica e cartesiana. Formule per i parametri direttori. Condizione di
parallelismo tra due rette.
[1, Capitolo 8]
20 novembre 2013 Lezione 37
Rette sghembe,
rette complanari. Condizioni di complanarità. Posizioni reciproche di due
rette. Distanza tra due rette parallele. Distanza tra due rette sghembe. Metodo
del punto mobile. Retta di minima distanza. [1, Capitolo 8]
21
novembre 2013 Lezione 38
Distanza
punto-retta. Distanza punto-piano. Sfere. Circonferenza nello spazio.
Introduzione alle quadriche in forma canonica. Appunti
sulle distanze
22 novembre 2013 Lezione 39
Quadriche
generali: Ellissoide, Iperboloide iperbolico (a una falda) e iperboloide
ellittico (o a due falde), paraboloide ellittico e paraboloide iperbolico (o a sella). Qualche
esempio di quadriche degeneri: coni e cilindri. [1, Capitolo 8].
(Per visualizzare
le quadriche: http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/)
25 novembre 2013 Lezione 40
Spazi vettoriali generali.
Esempi. Spazio vettoriale delle matrici mxn. Spazio
vettoriale Pn dei polinomi
di grado minore o uguale a n in una indeterminata. Spazio vettoriale delle
funzioni continue reali di variabile reale. [2, Capitolo 5.1]
26 novembre 2013 Lezione 41
Esempi di spazi e
sottospazi vettoriali. Calcolo di dimensioni. Spazio vettoriale delle
successioni di Fibonacci.
[2, Capitolo 5.1]
27 novembre 2013 Lezione 42
Teorema
fondamentale. Teorema di Invarianza. Spazio finitamente generato. Lemma di Indipendenza.
Lemma di Dipendenza. Teorema di esistenza di una base di uno spazio vettoriale
finitamente generato. [2, Capitolo 5.2]
28 novembre 2013 Lezione 43
Dimensione dello
spazio delle matrici simmetriche e dello spazio delle matrici antisimmetriche.
Trasformazioni lineari. Estensione per linearità di trasformazioni. Definizione
ed esempi di nucleo e immagine di una trasformazione lineare. [2, Capitolo 5.3]
29 novembre 2013 Lezione 44
Esempi di nucleo e
immagine di una trasformazione lineare. Teorema delle dimensioni. [2, Capitolo
5.3]
2 dicembre 2013 Lezione 45
Conseguenze del
teorema delle dimensioni. Esempi.
Isomorfismo. Se uno spazio vettoriale ha dimensione n allora è isomorfo a Rn. Coordinate rispetto ad una base. Isomorfismo
CB.
[2, Capitolo 5.4]
3 dicembre 2013 Lezione 46
Teorema di Rouché-Capelli come conseguenza del teorema delle
dimensioni. Matrice di una trasformazione lineare tra due spazi vettoriali di
dimensione finita.
[2, Capitolo 5.4]
4 dicembre 2013 Lezione 47
Matrice di cambiamento
di base.
[2, Capitolo 5.4]
5 dicembre 2013 Lezione 48
Relazione tra due
matrici dello stesso endomorfismo. Definizione di rango, determinante, autovalori, autovettori, diagonalizzazione, etc di un
endomorfismo.
[2, Capitolo 5.5]
6 dicembre 2013 Lezione 49
Generalizzazione
della nozione di distanza, angoli, ortogonalità. Prodotto scalare astratto.
Nozione di spazio euclideo. Esempi. Complemento ortogonale di un sottospazio.
[2, Capitolo
5.6][1,Capitolo 15 e Sezione 17.3]
9 dicembre 2013 Lezione 50
Nozione generale
di base ortogonale. Teorema dello sviluppo di Fourier. Esistenza delle basi
ortogonali: Procedimento di Gram-Schmidt.
[1, Capitolo 15 e
17.3] [2, Capitolo 5.7]
10 dicembre 2013 Lezione 51
Prodotti scalari
sullo spazio dei polinomi. Polinomi di Lagrange. [2,
Capitolo 5.7]
11 dicembre 2013 Lezione 52
Teorema della
proiezione e teorema dell'approssimazione. [2, Capitolo 5.7]
(Problema)
12 dicembre 2013 Lezione 53
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Soluzioni approssimate di un sistema non
risolubile: equazioni normali, metodi dei minimi quadrati. [2, Capitolo 5.7,
Capitolo 4.6]
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Soluzioni approssimate Grafico della retta per i dati discussi in aula (pdf).
Grafico della retta per i dati discussi in aula
(Geogebra)
13 dicembre 2013 Lezione 54
Alcune proprietà importanti
delle matrici simmetriche: autovalori reali e
ortogonalità. Teorema degli assi principali ( o spettrale).[2, Capitolo 4.7, 1,
Capitolo 15 e 17].
16 dicembre 2013 Lezione 55
A partire da questa
lezione svolgeremo esercizi in aula ed eventualmente qualche complemento.
Discuteremo ad esempio esercizi presi da questa
lista.
17 dicembre 2013 Lezione 56
Esercizi e
ripasso.
19 dicembre 2013 Lezione 57
Esercizi e
ripasso.
20 dicembre 2013 ore 8:30 Lezione 58
Esercizi e
ripasso.
20 dicembre 2013 ore 10 Lezione 59
Esercizi e
ripasso. Studio di una conica al variare
di un parametro (file geogebra)
7 gennaio 2014 ore 14-17 Lezione 60
Esercizi
Bibliografia
1.
S. Capparelli
– A. Del Fra: Geometria, Esculapio,
2010 Errata Corrige del testo
2.
W. Keith Nicholson: Algebra Lineare, dalle applicazioni alla
teoria, McGraw-Hill 2002
Un libro in lingua inglese,
gratuito, disponibile liberamente in rete, che contiene la parte di algebra
lineare, ma non la parte di geometria analitica, si trova al seguente link:
(a
linear algebra book freely available on the Internet):