Programma del corso

Introduzione

Programma

Orario delle lezioni

Ricevimento studenti

Dispense

Esercizi assegnati

Esami

Temi d'esame

Testo

G. Accascina, Note del corso di Geometria ed Algebra, A.A. 2000-2001
Le dispense sono disponibili sia su questo sito sia presso la copisteria Mingazzini situata in Via Mingazzini. (traversa di via Ippocrate). Sono anche disponibili alcuni temi d'esame risolti e gli esercizi assegnati settimanalmente.

Programma dell'anno accademico 2000-2001

Insiemi e funzioni
1. Inclusione, unione e intersezione:
  relazione di inclusione tra insiemi, uguaglianza tra due insiemi, unione, intersezione e loro tabelle di verità, proprietà dell'unione e dell'intersezione, insieme differenza.
2. Insieme delle parti:
  l'insieme delle parti di un insieme, complementare di un insieme e sua tabella di verità, leggi di De Morgan, differenza simmetrica di due insiemi.
3. Insiemi finiti:
  cardinalità di un insieme finito, cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme finito, cardinalità dell'unione di due e di tre insiemi finiti .
4. Relazioni su un insieme:
  prodotti cartesiani di insiemi, relazione binaria in un insieme.
5. Relazioni d'ordine:
  relazione d'ordine su un insieme,insiemi ordinati ed insiemi totalmente ordinati, diagramma di Hasse di un insieme ordinato finito, minimo comun maggiorante e massimo comun minorante.
6. Relazioni di equivalenza:
  relazioni di equivalenza in un insieme, classi di equivalenza, insieme quoziente.
7. Funzioni:
  funzioni tra insiemi, dominio e codominio (o immagine) di una funzione, controimmagine (o fibra) di un elemento, restrizione di una funzione, la funzione inclusione, funzioni iniettive, funzioni suriettive, funzioni biunivoche, funzione identica, funzione proiezione, funzione quoziente.
8. Composizione di funzioni:
  composizione di due funzioni, proprietà della composizione tra funzioni, funzione inversa di una funzione biunivoca, la composizione di funzioni iniettive (suriettive) è una funzione iniettiva (suriettiva).
9. Diagrammi commutativi:
  Esempi di diagrammi commutativi.
10. Passaggio al quoziente:
  funzione compatibile con una relazione di equivalenza, passaggio al quoziente di una funzione compatibile con una relazione di equivalenza.
11. Decomposizione di funzioni:
  teorema di decomposizione di una funzione tra insiemi (detto anche teorema di omomorfismo per funzioni tra insiemi).
Teoria ingenua degli insiemi
1. Insiemi equipotenti:
  la relazione di equipotenza tra insiemi, cardinalità di un insieme (eventualmente infinito), teorema di Cantor-Bernstein (dimostrazione omessa), ordinamento totale dell'insieme delle cardinalità, la cardinalità di un insieme è minore della cardinalità del suo insieme delle parti.
2. Insiemi infiniti:
  un insieme è infinito se e solo se è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio.
3. La cardinalità del numerabile:
  la classe del numerabile, l'unione disgiunta di insiemi numerabili è numerabile, il procedimento diagonale di Cantor, l'insieme dei numeri interi relativi è numerabile, il prodotto cartesiano di insiemi numerabili è numerabile, l'insieme dei numeri razionali è numerabile.
4. La cardinalità del continuo:
  la classe del continuo, l'insieme delle parti dell'insieme dei numeri naturali appartiene alla classe del continuo, un intervallo dei numeri reali appartiene alla classe dell'insieme delle parti di un insieme numerabile (classe del continuo)
5. Operazioni sui numeri cardinali:
  l'addizione tra cardinalità e sue proprietà, la moltiplicazione tra cardinalità e sue proprietà, elevazione a potenza di cardinalità e sue proprietà, cenni sull'ipotesi del continuo.
Insiemi con un'operazione
1. Gruppoidi, semigruppi, monoidi:
  operazione binaria su un insieme, gruppoide, tabella dell'operazione di un gruppoide finito, semigruppo, monoide, simmetrico di un elemento di un gruppoide.
2. Gruppi:
  gruppi, gruppi abeliani, gruppo delle trasformazioni di un insieme, gruppo simmetrico, ordine di un gruppo, gruppo lineare, gruppo quadrinomio ( o di Klein), gruppo delle isometrie del piano, leggi di semplificazione in un gruppo.
3. Sottogruppi:
  sottogruppi di un gruppo, condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo, il gruppo ortogonale e il gruppo ortogonale speciale, l'intersezione di sottogruppi è un sottogruppo, potenza di un elemento di un gruppo, proprietà delle potenze di un elemento, sottogruppo generato da un elemento, gruppo delle trasformazioni isometriche.
4. Periodo di un elemento:
  periodo di un elemento di un gruppo, la divisione con resto nell'insieme dei numeri interi relativi, condizione necessaria e sufficiente affinché due potenze di un elemento siano uguali.
5. Gruppi ciclici:
  gruppi ciclici e loro generatori, i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.
6. Teorema di Lagrange e applicazioni:
  classi laterali destre, il teorema di Lagrange, calcolo dell'inverso di un elemento in un gruppo finito.
7. Gruppoidi quozienti:
  relazione di equivalenza in un gruppoide compatibile con l'operazione e operazione indotta sull'insieme quoziente, gruppoide quoziente, monoide quoziente.
8. Gruppi quozienti:
  classi laterali destre e sinistre, sottogruppi normali, gruppo quoziente.
9. Le classi resto:
  la relazione di congruenza, classi di congruenza (o classe resto), il gruppo (Z_n,+) delle classi resto, il monoide (Z_n,·), l'insieme Z^*_n delle classi resto non nulle, il gruppo (Inv(Z_n),·) degli elementi invertibili di Z_n.
10. Proprietà aritmetiche:
  divisori di un numero intero, multipli e sottomultipli, numeri primi, massimo comun divisore, algoritmo di Euclide, identità di Bezout, numeri primi tra loro.
11. Ancora le classi resto:
  classi resto invertibili, algoritmo per la determinazione dell'inverso di una classe resto, il gruppo delle classi resto invertibili.
12. Omomorfismi:
  omomorfismi tra gruppi, isomorfismi, gruppi isomorfi, immagine di un omomorfismo tra gruppi, nucleo di un omomorfismo tra gruppi, il nucleo di un omomorfismo tra gruppi è un sottogruppo normale, controimmagine di un elemento attraverso un omomorfismo tra gruppi, composizione di omomorfismi tra gruppi, l'insieme degli omomorfismi tra due gruppi, endomorfismi di un gruppo, il monoide degli endomorfismi di un gruppo, automorfismi di un gruppo, il gruppo degli automorfismi di un gruppo, costruzione di omomorfismi da un gruppo ciclico ad un gruppo qualsiasi, teorema dell'omomorfismo per i gruppi, ogni gruppo ciclico è isomorfo a (Z,+) o a (Z_n,+)
Anelli, corpi e campi
1. Anelli:
  anelli, anelli con unità, anelli commutativi, divisori dello zero, anelli di integrità, leggi di semplificazione in un anello d'integrità.
2. Sottoanelli:
  sottoanelli di un anello, intersezione di sottoanelli.
3. Ideali:
  ideali, ideali con unità.
4. Anelli quozienti:
  relazione di equivalenza in un anello compatibile con le operazioni, operazioni indotte sull'insieme quoziente, anello quoziente.
5. Omomorfismi tra anelli:
  omomorfismi e isomorfismi tra anelli, anelli isomorfi, isomorfismo inverso, il nucleo di un omomorfismo tra anelli è un ideale, l'immagine di un omomorfismo tra anelli è un sottoanello, teorema dell'omomorfismo tra anelli.
6. Corpi e campi:
  corpi e campi, il campo (Z_n,+,·) per n primo, ideali di un campo.
7. Equazioni lineari in un campo:
  soluzione di un'equazione lineare a coefficienti in un campo, il caso di una congruenza modulo un numero primo.
8. Sistemi di equazioni lineari:
  sistemi di equazioni lineari a coefficienti in un campo, gli algoritmi di Cramer, Rouché-Capelli, Gauss per la determinazione delle eventuali soluzioni di un sistema, sistemi di congruenze.
Spazi vettoriali
1. Spazi vettoriali e basi:
  richiami di argomenti studiati nel corso di Geometria 1: spazi vettoriali su un campo K, combinazioni lineari, vettori linearmente indipendenti, insiemi di generatori, basi, coordinate di un vettore relative ad una base, esempi di spazi vettoriali e di basi, basi canoniche di Kⁿ, dello spazio M(K,p,q) delle matrici, dello spazio Kⁿ[x] dei polinomi di grado minore di n a coefficienti in K, di Cⁿ sui reali.
2. Basi di Lagrange:
  base di Lagrange di R³[x], generalizzazioni a Rⁿ[x] e a Kⁿ[x].
3. Dimensione di uno spazio vettoriale:
  dimensione di uno spazio vettoriale, spazi vettoriali di dimensione infinita, lo spazio vettoriale R[x] dei polinomi a coefficienti reali.
4. Sottospazi vettoriali:
  sottospazi vettoriali, condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme di uno spazio vettoriale sia un sottospazio vettoriale, il sottospazio delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari, i sottospazi vettoriali intersezione e somma di sottospazi vettoriali, formula di Grassmann.
5. Somma diretta:
  somma diretta di due sottospazi vettoriali, sottospazi supplementari, teorema di completamento di una base, esistenza di un supplementare di un sottospazio vettoriale, somma diretta di più sottospazi vettoriali.
6. Cambio di base:
  cambio di base e relazione tra le coordinate di un vettore, matrice di passaggio tra due basi.
7. Spazio vettoriale quoziente:
  relazione di equivalenza in uno spazio vettoriale compatibile con le operazioni e operazioni indotte, spazio vettoriale quoziente.
8. Varietà affini:
  varietà affini, dimensione di una varietà affine, esempi di varietà tratti dalla geometria, l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari a coefficienti in un campo, quando non è vuoto, è una varietà affine.
Omomorfismi tra spazi vettoriali
1. Omomorfismi:
  omomorfismi (applicazioni lineari) tra spazi vettoriali, isomorfismi, spazi vettoriali isomorfi, composizione di omomorfismi, spazi vettoriali aventi la stessa dimensione sono isomorfi, l'immagine e il nucleo di un omomorfismo sono sottospazi vettoriali, la contrommagine di un vettore (se non vuota) è una varietà affine, generatori dell'immagine di un omomorfismo, spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione, teorema dell'omomorfismo tra spazi vettoriali.
2. Omomorfismi e matrici:
  costruzione di un omomorfismo tra spazi vettoriali, matrice associata ad un omomorfismo, omomorfismo associato ad una matrice, relazioni tra le matrici associate ad un omomorfismo relativamente a basi diverse, matrice associata alla composizione di omomorfismi, legame tra le dimensioni del nucleo e dell'immagine di un omomorfismo, matrice associata all'isomorfismo inverso, rango del prodotto di due matrici.
Endomorfismi tra spazi vettoriali
1. Endomorfismi:
  endomorfismo di uno spazio vettoriale, matrice associata ad un endomorfismo, relazioni tra le matrici associate ad un endomorfismo relativamente a basi diverse.
2. Endomorfismi diagonalizzabili:
  richiami di argomenti studiati nel corso di Geometria 1: autovettori, autovalori, autospazio, molteplicità geometrica di un autovalore, polinomio caratteristico, molteplicità algebrica di un autovalore, espressioni di alcuni coefficienti del polinomio caratteristico, determinazione degli autovalori e degli autovettori, matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, condizione necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo sia diagonalizzabile.
3. Matrici simili:
  matrici simili, condizione necessaria affinché due matrici siano simili.
4. Matrici a blocchi:
  sottospazi invarianti e matrici a blocchi, scambi di blocchi.
5. Matrici di Jordan:
  blocchi di Jordan, matrici di Jordan, forma canonica di Jordan di una matrice.
6. Forma canonica di Jordan:
  endomorfismi nilpotenti, indice di nilpotenza, decomposizione di Fitting, successione dei nuclei di un endomorfismo, condizione necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo sia nilpotente, autospazi e autovettori generalizzati, catene di autovettori generalizzati, indice di un autovalore, algoritmo per la determinazione della forma canonica di Jordan di un endomorfismo avente tutti gli autovalori nel campo, base di Jordan, numeri di Jordan.
7. Ancora sulle matrici simili:
  matrici simili e numeri di Jordan, matrici simili in C sono simili in R (dimostrazione omessa).
Funzioni di matrici
1. Polinomi di matrici:
  polinomio calcolato in una matrice, calcolo di un polinomio in una matrice diagonale, calcolo di un polinomio in matrici simili, calcolo di un polinomio in un blocco di Jordan, teorema di Hamilton-Cayley.
2. Polinomi annullatori:
  polinomio annullatore di una matrice.
3. Polinomio minimo.
  polinomio minimo di una matrice, divisione con resto tra polinomi, matrici simili hanno lo stesso polinomio minimo, polinomio minimo di un endomorfismo, calcolo del polinomio minimo.
4. Calcolo di polinomi di matrici:
  congruenza tra polinomi, condizione necessaria e sufficiente affinché due polinomi calcolati su una matrice coincidano.
5. Funzioni di matrici:
  funzione definita sullo spettro di una matrice, definizione di funzione di una matrice per mezzo del polinomio interpolatore (polinomio di Lagrange-Sylvester), calcolo di una funzione su un blocco di Jordan, calcolo di una funzione su una matrice per mezzo della forma canonica di Jordan della matrice.

La numerazione degli argomenti corrisponde a quella dell'edizione 2000-2001 delle dispense. La numerazione utilizzata nelle precedenti edizioni delle dispense non è sempre corrispondente. Gli argomenti trattati sulle dispense ma non facenti parte del programma sono: dimostrazione di 48, nota 247, dimostrazione di 248, tutto il paragrafo 2.5, da 295 a 304, tutto il paragrafo 4.9, tutto il paragrafo 6.3, tutto il paragrafo 7.2, tutto il paragrafo 7.3.