Algebre di operatori, teoria algebrica dei campi quantistici e geometria noncommutativa
Le algebre di operatori, nate nei lavori di von Neumann sui fondamenti matematici della meccanica quantistica, sono un'area di ricerca vasta e in continua espansione, sin dal primo momento indissolubilmente collegata alla teoria dei gruppi localmente compatti e variazioni sul tema, ma anche alla teoria degli operatori e alla teoria ergodica. Gli oggetti fondamentali sono le C*-algebre e le algebre di von Neumann, particolari tipi di algebre di Banach il cui studio ricade quindi nell'ambito dell'analisi funzionale e, tramite le loro rappresentazioni, dell'analisi armonica. Di fatto, nel corso degli anni le algebre di operatori hanno mostrato una marcata connotazione interdisciplinare con importanti ricadute in altri settori. Esse sono diventate uno strumento insostituibile per una descrizione rigorosa dei sistemi quantistici (teoria relativistica dei campi, meccanica statistica, etc.). Inoltre, il linguaggio flessibile ed intrinsecamente noncommutativo permette una trattazione innovativa e per certi versi sorprendente di numerosi aspetti geometrici.