Consideriamo la successione di funzioni
per
. Dimostriamo che
in D'.
Infatti posto
si ha che:
e quindi
per ogni .
Consideriamo la successione
si ha:
Infatti
e, detta una primitiva
di
, si ha che:
.
Introdotta la variabile ,
ed essendo ovviamente
, si ha:
da cui segue:
.
Sia e
consideriamo
e passiamo al limite per
(nel senso di D'
). Notiamo che se
si ha:
cioè .
Poiché
(con funzione test) esiste
una maggiorante sommabile indipendente da
e quindi passando al limite sotto il segno di integrale (per il
teorema di Lebesgue) risulta:
.
Supponiamo ora in modo
che:
ne segue:
Avendosi a secondo membro una maggiorante sommabile indipendente
da , per il teorema di Lebesgue del passaggio al limite sotto
il segno di integrale risulta:
pertanto
cioè
in D.
Derivando rispetto ad x si ha:
Questa formula si può ricondurre alla formula di Socockij.
Consideriamo, per la successione
generalizzata
,
l'esempio 4.5 mostra che
.