Sia f una funzione (localmente
sommabile cioè sommabile su ogni insieme limitato) essa
definisce una distribuzione Tf nel modo seguente:
L'integrale esiste perché il dominio di integrazione di
fatto è il supporto di non
tutto R. Abbiamo già visto che:
4.2 Teorema. Se due funzioni
definiscono la stessa distribuzione,
allora:
Questo teorema permette di identificare f con Tf e scrivere
In particolare:
La distribuzione impulso
nel punto a è così definita:
Come vedremo in seguito non può avere una definizione puntuale
(i fisici la definiscono come la funzione sempre nulla che vale
nel punto a ed il cui integrale è 1), ma può
essere considerata il limite, nel senso della teoria delle distribuzioni,
di successioni di funzioni.
Consideriamo la successione (generalizzata):
(si ottiene una successione
ponendo, ad esempio, ).
Si ha
(avendo posto cioè
). Se
= .
Il passaggio al limite si può fare sotto il segno di integrale
per il teorema di Lebesgue (è
infatti limitata).
Se
risulta come è noto
.
Se e
(avendo posto ).
Il primo integrale converge a zero per il lemma di Riemann-Lebesgue, essendo
regolare anche in x = 0.