La derivazione è un operatore lineare e continuo in D' pertanto
.
La somma della serie delle derivate
è la derivata della somma della serie delle
.
Sviluppo di Fourier della seguente funzione (dispari) periodica di periodo 2,
definita ponendo:
nel senso delle distribuzioni,
con
Scriviamo la serie di Fourier:
dove:
Essendo f dispari è , se
si ha:
quindi:
pertanto uguagliando la serie derivata alla derivata della somma:
Vedremo le conseguenze di queste identità (nel senso delle distribuzioni) quando si effettua la trasformata di Fourier del treno di impulsi.