Calcolo delle Probabilità - Ing. Gestionale

Appello del 26 ottobre 2022 aula 1 (edificio CU002, Città Universitaria) ore 16:00

Eventuali informazioni verranno fornite dopo la chiusura delle prenotazioni (via mail istituzionale).

Appello del 09 settembre 2022 aula 4, via del Castro Laurenziano

Turno 1: Cognomi con iniziali fino alla C, ore 8:45
Turno 2: Cognomi con iniziali dalla D, ore 11:30

Appello del 15 luglio 2022 ore 9:00 - 16:00 aula 1 - aula 2, Scienze Statistiche CU002 (Città Universitaria)

Informazioni su slot, aula, orario verranno rese note dopo la chiusura delle prenotazioni (via mail istituzionale).

Appello del 06 giugno 2022 ore 13:30 aula 1 - aula 2, Scienze Statistiche CU002 (Città Universitaria)

Informazioni su slot, aula, orario verranno rese note dopo la chiusura delle prenotazioni (via mail istituzionale)..
Svolgimenti(tracce)
Turno 1: parte A, parte B
Turno 2: parte A, parte B
Risultati: PDF
La visione del compito è prevista dopo il 20 giugno 2022. Giorno, ora, aula saranno resi noti appena disponibili
La verbalizzazione del voto è prevista per il 28 giugno 2022, eventuali rinuncie al voto dovranno pervenire in data utile. Per accettare il voto vale il silenzio assenso.
La eventuale prova orale potrà essere concordata alla visione del compito. Si potrà sostenere a giugno o a luglio.
La bocciatura non verrà verbalizzata per la prova di giugno. Verrà verbalizzata per la prova di luglio agli studenti NC che si confermeranno NC.

Appello del 14 febbraio 2022 ore 10:00 aula 1-2

Comunicazioni tramite infostud.

Appello del 18 gennaio 2022 ore 14:00 aula 3

Comunicazioni tramite infostud.

Appello straordinario del 21 ottobre 2021 ore 12:00 aula 12

RISULTATI [pdf]
TRACCE DELLE SOLUZIONI [pdf]
I compiti si potranno visionare:
- da remoto (su prenotazione via mail, per chi ha sostenuto la prova da remoto) il 5 novembre alle ore 11:00
- in presenza (su prenotazione via mail, per chi ha sostenuto la prova in presenza) il 4 novembre alle ore 11:00, studio 9, via A. Scarpa 10.
I voti saranno verbalizzati il 5 novembre 2021.
Eventuali comunicazioni o rinuncie dovranno pervenire entro il 7 novembre.
Il verbale sarà chiuso in data 8 novembre, dopo questa data non si potrà modificare la verbalizzazione.

Appello del 6 settembre 2021 ore 14:30 aula 12

RISULTATI [pdf]
TRACCE DELLE SOLUZIONI [pdf]
I compiti si potranno visionare:
- da remoto (su prenotazione via mail, per chi ha sostenuto la prova da remoto) il 22 settembre alle ore 11:00
- in presenza (su prenotazione via mail, per chi ha sostenuto la prova in presenza) il 22 settembre alle ore 16:00 in aula 7.
I voti saranno verbalizzati il 23 settembre.
Eventuali comunicazioni o rinuncie dovranno pervenire entro il 24 settembre.
Il verbale sarà chiuso il 25 settembre, dopo questa data non si potrà modificare la verbalizzazione.

Appelli 2022:
mar 18 gennaio 2022
lun 14 febbraio 2022
mer 17 marzo 2022
lun 06 giugno 2022
lun 11 luglio 2022 (spostato al 15 luglio)
mer 07?? settembre 2022 (spostato al 09 settembre)



Corso a.a. 2021/2022

Il prof. Francesco Iafrate terrà la prima parte del corso (pagina web) mentre il prof. Mirko D'Ovidio terrà la seconda parte.


Programma:
gli argomenti riportati giornalmente nel diario delle lezioni


Informazioni utili:
ulteriori informazioni verranno fornite durante il corso. Le informazioni relative agli anni precedenti sono disponibili al link


Materiale didattico consigliato:
Appunti di Probabilità e Statistica, Mirko D'Ovidio (ebook) [link]
Calcolo delle probabilità. Sheldon M. Ross. Apogeo


Riferimenti:
codice (Classroom) per il corso di Calcolo delle Probabilità : lrjq4v4
aula in presenza - aula 3, via del Castro Laurenziano: lunedì ore 17-19, venerdì ore 12-15
aula da remoto - aula 3 zoom (link aule)


Diario delle Lezioni:
21/02: Introduzione agli spazi di probabilità. Spazio campionario, eventi. Logica degli eventi e operazioni sugli insiemi. Sigma-algebra. Introduzione euristica alla probabilità. Esempi.
25/02: Definizione di misura di probabilità. Spazi di probabilità uniformi. Calcolo combinatorio: principio fondamentale del calcolo combinatorio, permutazioni semplici, disposizioni semplici, disposizioni con ripetizione. Esempi ed esercizi.
28/02: Primi risultati sulla probabilità (dim.): probabilità del complementare, monotonia, probabilità dell'unione di eventi non incompatibili (formula di inclusione esclusione, dim. per n=2, discussione per n=3 e del caso generale). Combinazioni semplici, proprietà del coefficiente binomiale (con giustificazione combinatoria). Schema di estrazione da un'urna senza reimmissione. Esempi ed esercizi.
04/03: Disuguaglianza di Boole (dim.). Ulteriori tecniche di calcolo combinatorio: coefficiente multinomiale, permutazioni con ripetizione, combinazioni con ripetizione: problema del riempimento delle urne. Problema delle concordanze. Esempi ed esercizi.
07/03: Probabilità condizionata: def., verifica assiomi probabilità, interpretazione. Legge delle probabilità composte (verifica per n=3). Indipendenza: def. generale, discussione n=3. Esempi ed esercizi.
11/03: Indipendenza dei complementari (dim.), Legge delle Probabilità Totali (dim.), Formula di Bayes (dim.). Problema affidabilità dei test. Esempi ed esercizi.
14/03: Problema di Monty Hall. Schema delle prove ripetute (o di Bernoulli): verifica per lanci di moneta e estrazioni con reimmissione. Esempi ed esercizi su condizionamento e indipendenza.
18/03: Numero di successi in uno schema di Bernoulli: legge Binomiale. Eventi condizionatamente indipendenti (e.g esperimenti in due fasi). Esempi ed esercizi. Successioni di eventi: limiti per successioni monotone. Continuità della probabilità. Eventi quasi certi e quasi impossibili.
21/03: Riepilogo su successioni di eventi, dim. continuità della probabilità. Introduzione alle variabili aleatorie: eventi di interesse, esempi. Sigma-algebra di Borel (cenni). Def. formale di variabile aleatoria. Concetto di distribuzione di una v.a. Esercizi.
25/03: Funzione di ripartizione: proprietà (dim.), calcolo delle probabilità di eventi a partire dalla f.r. (dim.). V.a. discrete: def., proprietà della densità discreta. Valore atteso di una v.a. discreta: def., interpretazione. Introduzione ai modelli noti di v.a. discrete. Esempi ed esercizi.
28/03: Modelli noti di v.a. discrete. Uniforme discreta: densità discr., f.r., calcolo valore atteso. Bernoulli: densità discr., f.r., calcolo valore atteso, legame con lo schema delle prove ripetute. Binomiale: densità discr., verifica proprietà, calcolo valore atteso, legame con schema di prove ripetute (già visto). Ipergeometrica: densità, verifica proprietà (giustificazione combinatoria), valore atteso (dim.), legame con schema estrazioni in blocco (già visto). Esempi ed esercizi.
01/04: Geometrica: densità discr., verifica proprietà, calcolo f.r., calcolo valore atteso, legame con schema delle prove ripetute. Poisson: densità discr., verifica proprietà, calcolo f.r., calcolo valore atteso, cenni al legame con la binomiale, esempi di utilizzo. Esercizi di riepilogo su v.a. discrete.
4/04 (2h, 2): annullata
8/04 (3h, 3): Variabili a valori continui, funzione di ripartizione e densità continua. Discussione sulla continuità. Condizioni necessarie e sufficienti per densità (CNS).Variabile uniforme continua. Esercizi. Variabile esponenziale. Esercizi.
11/04 (2h, 5): Variabile Gamma, densità Gamma, funzione Gamma e proprietà. CNS. Variabile Normale. CNS. Esercizi (integrali). Trasformazione di una v.a. Normale (standardizzazione).
15/04 (3h, 5): festa
18/04 (2h, 5): festa
22/04 (3h, 8): Media aritmetica, media ponderata e valore medio di una variabile aleatoria, frequenze e probabilità, densità di probabilità. Media per v.a. continue. Esercizi. Momenti, Varianza, definizione e discussione. Linearità della media. Momenti e Varianza, collegamenti. Esercizi.
25/04 (2h, 8): festa
29/04 (3h, 11): Trasformazioni lineari di variabili aleatorie. Esercizi
2/05 (2h, 13): Trasformazioni di variabili aleatorie. Esercizi.
6/05 (3h, 16): Dipendenza e trasformazioni lineari, la covarianza. Dipendenza e trasformazioni g(X). Dipendenza e densità. Somme di due variabili indipendenti. Esercizi. Somme di esponenziali (risultato generale). Esercizi per casa.
9/05 (2h, 18): Correzione esercizi per casa. Formula generale di derivazione per funzioni integrali. Somme di due v.a. Normali. Risultato generale sulla somma di v.a. Normali.Esercizi e discussioni. Osservazione e vettori aleatori (cenni di inferenza statistica).
13/05 (3h, 21): Osservazioni e campioni, media campionaria e v.a. media campionaria. Esempi e disciussione sulla numerosità campionaria. Estrazione dalla scatola Italia e altezza media degli italiani. Esercizi. somme di due v.a. di Poisson. Risultato generale sulla somma di v.a. di Poisson. Discussion ed esempio della Banca, dimensionamento di un sistema e teoria delle code. Esercizi. Riassunto sulle somme di v.a. (a valori) discete. Riassunto sulle somme di v.a. (a valori) continue. Esercizio sulla trasformazione g(X)=1/X.
16/05 (2h, 23): Esercizi per casa. Esercizi e discussioni
20/05 (3h, 26): Convergenza di v.a.: in distribuzione, in probabilità. Definizioni e collegamenti. Esercizi. Disuguaglianza di Cebicev (senza dimostrazione). Variabili indipendenti, identicamente distribuite. Legge (debole) dei grandi numeri (teorema e dimostrazione). Estrazione dalla scatola Italia e altezza media degli italiani: il caso di un solo campione. Esercizi.
23/05 (2h, 28): Correzione esercizi per casa. Esercizi.
27/05 (3h, 31): Correzione esercizi per casa. Esercizi.


Argomenti Fondamentali: Intersezione con evento certo, Legge delle PT, Legge delle PC, Formula di Bayes (con dimostrazione), Variabili aleatorie elementari con verifica CNS per densità, Convergenza di v.a., Legge dei grandi numeri. Su tali argomenti si basano solo le domande teoriche (della prova scritta) non le eventuali prove orali.

Informazioni sullo svolgimento delle prove di esame: le prove di esame saranno scritte con due domande teoriche e due esercizi sulle due parti di corso: probabilità di eventi, trasformazioni di v.a. e convergenze. Ogni esercizio potrà includere più punti da svolgere. Si potrà consultare un formulario costituito da un solo foglio, scritto fronte/retro. Le prove della durata di due ore saranno in presenza con eventuali eccezioni gravi da giustificare con opportuna documentazione, si prega di avvisare il docente con quanto più anticipo possibile. La prenotazione su infostud sarà possibile fino a qualche giorno prima della prova in modo da poter organizzare aule e slot necessari. Sarà possibile sostenere la prova orale in due casi: su richiesta dello studente, su richiesta del docente. Nel secondo caso lo studente sarà chiamato a chiarire aspetti della prova scritta che il docente ritiene poco chiari. In entrambi i casi il voto finale sarà ottenuto come media aritmetica dei voti (somma/2), se si ottiene una media inferiore al 18, lo studente risulta bocciato. Seguiranno eventuali comunicazioni tramite infostud ai soli iscritti per questioni relative alle singole prove.