Calcolo delle Probabilità - Ing. Gestionale - Canali: A-L, M-Z

Corso a.a. 2023/2024

aula 12, via A. Scarpa


Il prof. Francesco Iafrate terrà la seconda parte del corso mentre il prof. Mirko D'Ovidio terrà la prima parte.


Programma: gli argomenti riportati giornalmente nel diario delle lezioni


Informazioni utili:
gli esercizi relativi agli anni precedenti sono disponibili al link,
per il precedente anno accademico consultare il seguente link,
altri esercizi sono disponibili al link.
In molti casi si riportano solo tracce delle soluzioni. Alla prova scritta lo svolgimento dovrà includere tutte le informzioni che verranno ritenute utili alla valutazione.
Ulteriori informazioni verranno fornite durante il corso.


Testo principale: Appunti di Probabilità e Statistica, Mirko D'Ovidio (ebook) [link]


Materiale didattico consigliato (per integrazioni ed esercizi): Calcolo delle probabilità. Sheldon M. Ross. Apogeo


Riferimenti: codice classroom 4jgirum (per esercizi e altro materiale)


Diario delle Lezioni Canale A-L (aggiornato durante il corso):
27-28/02 (2h): (28 posticipata). Introduzione al corso. Concetti di frequenza e probabilità, modelli deterministici e aleatori. Esempio del dado regolare, discussione. Eventi ed insiemi. Spazio di probabilità.
5-6/03 (7h): Classificazione degli eventi. Legge delle probabilità totali. Legge delle probabilità composte. Esempi e discussioni, due dadi regolari. Restrizione di Omega. Esercizi condizionamento. Estrazioni con e senza ripetizione. Formazione del campione. Legge binomiale (cenni). Esercizi, esempi e discussioni.
12-13/03 (12h): Estrazioni con e senza ripetizione, esercizi. Formula di Bayes e interpretazione. Esercizio (assicurazioni). Prove ripetute dipendenti, esempio (mazzo di chiavi). Prove ripetute indipendenti, esempio (lampadina). Combinazioni semplici. Permutazioni con ripetizioni.
19-20/03 (15h): (19 posticipata) Estrazioni in blocco. Esempi (carte) e discussione. Variabile di Bernoulli e prove ripetute indipendenti. Variabile Binomiale e numero di successi. Variabile Geometrica e primo successo. Esempi e discussione.
26-27/03: (20h) Variabili aleatorie discrete (a valori discreti) e loro caratterizzazione. Definizione 21, Definizione 22. Densità discreta e distribuzione di probabilità. Condizioni Necessarie e Sufficienti (CNS) per densità discrete. Variabile aleatoria di Poisson e Geometrica, evento certo. Per casa, evento certo per v.a. di Bernoulli e Binomiale. Discussione sugli esercizi per casa. Discussione sulla numerabilità e v.a. discrete. Media aritmetica, media ponderata e media di v.a. a valori discreti. Esempi e discussioni. Somme di due v.a. di Poisson indipendenti.
2-3/04 (23h): (2 vacanze di Pasqua) Somme di due v.a. di Poisson indipendenti e discussione. Formula di convoluzione per densità discrete. Esempi ed esercizi. Variabili aleatorie continue (intoduzione).
9-10/04 (28h): Variabili aleatorie continue (a valori continui), densità continua, CNS per densità continue. Probabilità di intervalli. Probabilità del punto. Uniforme continua e probabilità di un intervallo.
16/04 (30h): posticipata (2h), argomenti media per v.a. continue. Esempi ed esercizi sulle trasformazioni semplici Y=g(X)
17/04 (3h): Prof. Iafrate, seconda parte



Diario delle Lezioni Canale M-Z (aggiornato durante il corso):
26-27/02 (2h): (26 posticipata) Introduzione al corso. Concetti di frequenza e probabilità, modelli deterministici e aleatori. Esempio del dado regolare, discussione. Eventi ed insiemi. Spazio di probabilità.
4-5/03 (7h): Classificazione degli eventi. Legge delle probabilità totali. Legge delle probabilità composte. Esempi e discussioni, due dadi regolari. Restrizione di Omega. Tabella a doppia entrata per due dadi regolari (cenni). Estrazione e formazione del campione. Dipendenza ed estrazioni successive. Esempi e discussioni.
11-12/03 (12h): Impostazione classica e frequentista della probabilità. Formula di Bayes ed interpretazione. Esempi e discussione. Esercizio (assicurazioni). Intersezione con evento certo, legge delle P.T. e legge delle P.C., esercizi. Estrazioni in blocco.
18-19/03 (15h): (19 posticipata) Esercizi 19, discussione. Estrazione con e senza ripetizione, discussione. Permutazioni con ripetizione (discussione). Numero di successi su n prove indipendenti (discussione).
25-26/03 (20h): Variabile aleatoria di Bernoulli e schema Bernoulliano, Binomiale e Geometrica. Discussione. Variabile aleatoria di Poisson. Definizione generale di v.a. a valori discreti (valori numerabili): spettro e densità discreta.
1-2/04 (20h): (1-2 vacanze di Pasqua)
8-9/04 (25h): Esempio della lampadina. Variabili aleatorie continue (a valori continui) e discussione (disc/cont). Probabilità di intervalli. Probabilità di un punto. Esempio del dado regolare. Densità continue, CNS per densità continue.Esempi ed esercizi. Media di variabili aleatorie (valore atteso).
15-16/04 (30h): Momenti di ordine r>0. Variabili aleatorie Normale e Gamma. Esercizi sul calcolo delle medie e verifica delle CNS. Trasformazione linerare e Normale standard. Discussione sulla densità Gamma e sulla funzione Gamma.Esercizi semplici sulla trasformazioni Y=g(X).
22-23/04 (5h): Prof. Iafrate, seconda parte




Argomenti Fondamentali (aggiornato durante il corso): Legge delle probabilità totali. Legge delle probabilità composte. Variabili aleatorie elementari e CNS per densità. Funzione di ripartizione e propietà. Teoremi sulle somme di variabili aleatorie. Teorema del limite centrale (TLC) e legge dei grandi numeri (LGN)

Appelli
18/06 aule 12/13 mattina
10/07 aule 12/13 pomeriggio
17/09 aule 12/13 mattina


Informazioni sullo svolgimento delle prove di esame
- Prova scritta con due esercizi sulle due parti di corso. Ogni esercizio potrà includere più punti da svolgere di difficoltà diversa. Si potrà consultare un formulario costituito da un solo foglio, scritto fronte/retro. La prova della durata di due ore sarà in presenza.
- Prova orale solo su richiesta. Verrà automaticamente confermato il voto dello scritto tranne nel caso in cui lo studente decida di sostenere la prova orale su tutto il programma (diario delle lezioni)
- Visti i malfunzionamenti di infostud, si prega di avvisare via mail nel caso non si intenda sostenere la prova scritta.



Visti i malfunzionamenti di infostud, lo svolgimento delle prove di esame dovranno subire alcuni aggiustamenti rispetto a quanto preannunciato durante il corso

Inoltre non siamo in grado di gestire gli slot in maniera efficiente, TUTTI verrete convocati allo stesso orario ed in seguio definiremo gli slot




Corso a.a. 2022/2023

aula 12, via A. Scarpa


Il prof. Francesco Iafrate terrà la prima parte del corso mentre il prof. Mirko D'Ovidio terrà la seconda parte.


Programma: gli argomenti riportati giornalmente nel diario delle lezioni


Informazioni utili:
gli esercizi relativi agli anni precedenti sono disponibili al link,
per il precedente anno accademico consultare il seguente link,
altri esercizi sono disponibili al link.
In molti casi si riportano solo tracce delle soluzioni. Alla prova scritta lo svolgimento dovrà includere tutte le informzioni che verranno ritenute utili alla valutazione.
Ulteriori informazioni verranno fornite durante il corso.


Testo principale: Appunti di Probabilità e Statistica, Mirko D'Ovidio (ebook) [link]


Materiale didattico consigliato (per integrazioni ed esercizi): Calcolo delle probabilità. Sheldon M. Ross. Apogeo


Riferimenti: Link elearning


Diario delle Lezioni Canale A-L (aggiornato durante il corso):
04/04 (2h): Introduzione alle v.a. continue e confronto con le v.a. discrete. Media e confronto tra v.a. continue e discrete. Variabile exponenziale e discussione.
05/04 (5h): Funzione di ripartizione per una v.a. continua e per una v.a. discreta. Proprietà. Il caso del dado regolare (uniforme discreta) e della v.a. uniforme continua in (a,b). Variabile Gamma, densità Gamma, funzione Gamma e proprietà. Evento certo per la v.a. Gamma.
12/04 (8h): Alcune considerazioni su argomenti già visti (media). Variabile Normale e discussione, Normale standard. Condizioni necessarie e sufficienti (CNS) per densità. Media di g(X) per v.a. discrete e continue, alcuni esempi nel caso di una v.a. esponenziale. Varianza (cenni).
18/04 (10h): Trasformazioni di v.a., esempio e discussione (radice di X).
19/04 (13h): Trasformazioni di v.a., esempio e discussione (riciproco di X). Somma di uniformi (da finire).
25/04 (13h): Festa
26/04 (16h): Esercizio da finire. Trasformazioni g(X) con X vettore, cenni e applicazioni. Discussione (dimostrazione Eg(X)=g(EX) nel caso g(X)=aX+b. Momenti di una v.a, discussione. Varianza, discussione. Somma Z= X+Y con X,Y esponenziali. Teorema sulla somma di esponenziali.
02/05 (18h): Esercizio da finire. Somma Z=X+Y con X esponenziale e Y uniforme. Somma Z=X+Y con X,Y normali standard (per casa).
03/05 (21h): Esercizio da finire (somma di due normali standard). Teorema sulla somma di v.a. Normali. Somma di due Poisson. Teorema sulla somma di v.a. Poisson. Esempio di applicazione. Esercizio Y=X+1 dove X è una Poisson, calcolare P(Y=y), EX, EY.
09/05 (23h): Concetto di variabili aleatorie i.i.d. e discussione. Convergenza in distribuzione. Esempi.
10/05 (26h): Esercizi e discussioni sulla convergenza. Variabile aleatoria degenere. Convergenza della radice n-esima di X con X uniforme in (0,1). Convergenza del massimo di n uniformi in (0,1), per casa.
16/05 (28h): Legge debole dei grandi numeri (solo enunciato), discussione sul limite di media e varianza della v.a. media campionaria. La covarianza: definizione e discussione. Collegamento con il modello lineare. Dipendenza lineare e discussione sulle diverse forme di dipendenza. Congiunte e marginali (funzioni di ripartizione e densità), discussione nei casi continuo e discreto.
17/05 (28h): Lezione rimandata (assegnati esercizi per casa)
24/05 (31h): Correzione esercizi di preparazione alla prova scritta.



Diario delle Lezioni Canale M-Z (aggiornato durante il corso):
04/04 (2h): Introduzione alle v.a. continue e confronto con le v.a. discrete. Media e confronto tra v.a. continue e discrete. Variabile exponenziale e discussione.
17/04 (5h): Variabili aletorie Gamma e Normale, densità e loro funzioni di ripartizione. Condizioni necessarie e sufficienti (CNS) per densità (discrete e continue). Esercizi ed esempi su calcolo di medie e CNS per densità (discrete e continue).
18/04 (7h): Variabile aleatoria Uniforme continua, densità e funzione di ripartizione. Riepilogo funzione di ripartizione e media per v.a. discrete e continue. Momenti e media di g(X). Varianza, definizione e discussione. Esercizi. Discussione sulle trasformazioni g(X), esempio della radice.
24/04 (10h): Esercizi sulle trsformzioni Y=g(X), radice e reciproco di X. Il caso g(X)=1/(X-1) con X esponenziale (da finire).
25/04 (10h): Festa
01/05 (10h): Festa
02/05 (13h): Esercizio da finire 1/(X-1) con X esponenziale. Linearità della media, discussione (dimostrazione Eg(X)=g(EX) nel caso g(X)=aX+b. Momenti di una v.a, discussione. Varianza, discussione.
08/05 (16h): Y = aX + b con X normale standard e sua inversa (standardizzazione). Somma di due uniformi in (0,1). Somma di due esponenziali (i.i.d.). Teorema sulla somma di n esponenziali (i.i.d).
09/05 (18h): Somme di due normali. Teorema sulla somma di n normali. Somma di due Poisson. Teorema sulla somma di n Poisson. Esempio. Discussione sul dimensionamento di una banca.
15/05 (21h): Alcune discussioni sulla varianza di aX+b. La covarianza: definizione e discussione. Collegamento con il modello lineare. Dipendenza lineare e discussione sulle diverse forme di dipendenza. Congiunte e marginali (funzioni di ripartizione e densità), discussione nei casi continuo e discreto.
16/05 (23h): Variabile degenere. Variabili aleatorie i.i.d., successioni di v.a., successioni di funzioni di ripartizione. Convergenza in distribuzione. Esempio del massimo di n uniformi in (0,1). Legge debole dei grandi numeri (solo enunciato), discussione sul limite di media e varianza della v.a. media campionaria.
22/05 (26h): Esercizi
23/05 (28h): Esercizi
29/05 (31h): Esercizi di preparazione alla prova scritta.



Argomenti Fondamentali (aggiornato durante il corso): Legge delle probabilità totali. Legge delle probabilità composte. Formula di Bayes. Variabili aleatorie elementari e CNS per densità. Funzione di ripartizione e propietà. Teoremi sulle somme di variabili aleatorie.


Informazioni sullo svolgimento delle prove di esame
- Prova scritta con due esercizi sulle due parti di corso: probabilità di eventi, trasformazioni (di v.a.) e convergenza (di v.a.). Ogni esercizio potrà includere più punti da svolgere di difficoltà diversa. Si potrà consultare un formulario costituito da un solo foglio, scritto fronte/retro. La prova della durata di due ore sarà in presenza.
- Prova orale in cui lo studente sarà chiamato a chiarire aspetti della prova scritta che il docente ritiene poco chiari oppure dovrà rispondere in maniera precisa ad una domanda sugli argomenti fondamentali. In entrambi i casi si conferma il voto dello scritto oppure si registra una boccitura. Se lo studente decide di sostenere la prova orale su tutto il programma (diario delle lezioni) il voto finale sarà ottenuto come media aritmetica dei voti (somma/2). Si supera la prova con voto non inferiore a 18.
- La prenotazione su infostud sarà possibile fino a qualche giorno prima della prova in modo da poter organizzare aule e slot necessari, si prega di comunicare per tempo eventuali assenze.

Appello 08 febbraio 2024 in aula 12 ore 12:00-14:30, canale A-L e canale M-Z


Si ricorda che la prenotazione DEVE essere cancellata se si pensa di non sostenere la prova scritta.
Non è consentito l'uso della calcolatrice.
Non è consentito l'uso del cellulare.
Si potrà avere solo il formulario (un foglio A4 scritto fronte/retro), una o due penne, acqua.
Verranno distribuiti fogli di brutta.
AMMESSI ALLA PROVA ORALE link
TUTTI, ammessi e non ammessi, possono visionare il compito
VISIONE COMPITO aula 8 RM018 ore 14.00 del 16-02-2024
ORALE LAUREANDI aula 8 RM018 ore 14:00 del 16-02-2024
ORALE NON LAURENDI aula 8 RM018 ore 10:00 del 20-02-2024
ORALE NON LAURENDI aula 6 RM018 ore 13.00 del 23/02/2024
ORALE NON LAURENDI aula 2E RM004 ore 10.00 del 26/02/2024

Appello 17 gennaio 2024 in aula 12 ore 10:30-13:00 (canale A-L), ore 13:30-16:00 (canale M-Z)


Si ricorda che la prenotazione DEVE essere cancellata se si pensa di non sostenere la prova scritta.
Non è consentito l'uso della calcolatrice.
Non è consentito l'uso del cellulare.
Si potrà avere solo il formulario (un foglio A4 scritto fronte/retro), una o due penne, acqua.
Verranno distribuiti fogli di brutta.

Appello 05 settembre 2023 in aula 13 - SPOSTATO AL 20 SETTEMBRE aule 12-13 ore 8-13


Si ricorda che la prenotazione DEVE essere cancellata se si pensa di non sostenere la prova scritta.
Non è consentito l'uso della calcolatrice.
Non è consentito l'uso del cellulare.
Si potrà avere solo il formulario (un foglio A4 scritto fronte/retro), una o due penne, acqua.
Verranno distribuiti fogli di brutta.
SVOLGIMENTI (TRACCE) al link (2023-09-20-GEST-partAi, 2023-09-20-GEST-partBi, i=1,2)
ORALE: 25 settembre in AULA 1E (RM004) ore 13:00.
Seguirà convocazione via mail istituzionale (Infostud).

Appello 14 luglio 2023 in aula 13

TURNO 1 - ORE 09:30 - sono convocati i prenotati con numero di prenotzione 1-40
TURNO 2 - ORE 12:00 - sono convocati i prenotati con numero di prenotzione 41-80
TURNO 3 - ORE 14:30 - sono convocati i prenotati con numero di prenotazione da 81 in poi, compresi i non prenotati

Non è consentito l'uso della calcolatrice.
Non è consentito l'uso del cellulare.
Si potrà avere solo il formulario (un foglio A4 scritto fronte/retro), una o due penne, acqua.
Verranno distribuiti fogli di brutta.
SVOLGIMENTI (TRACCE) al link (2023-07-14-GEST-partAi, 2023-07-14-GEST-partBi, i=1,2,3)
ORALE: 20-21 luglio in AULA 5 ore 10:00.
Seguirà convocazione via mail istituzionale (Infostud).

Appello 05 giugno 2023 in aula 13
TURNO 1 - ORE 10:00 - cognomi con iniziali dalla "A" fino a "DE F" (incluso "D'A")
TURNO 2 - ORE 12:30 - cognomi con iniziali da "DE G" fino a "MA"
TURNO 3 - ORE 15:00 - cognomi con iniziali da "ME" fino a "Z"

Sono indicati gli orari di inizio, quindi per ogni turno si inizierà 15 minuti prima con appello e controllo del documento.
Non è consentito l'uso della calcolatrice.
Non è consentito l'uso del cellulare.
Si potrà avere solo il formulario (un foglio A4 scritto fronte/retro), una o due penne, acqua.
Verranno distribuiti fogli di brutta.
SVOLGIMENTI (TRACCE) al link (2023-06-05-GEST-partAi, 2023-06-05-GEST-partBi, i=1,2,3)
Seguiranno comunicazioni via mail istituzionale (Infostud)

Appello 08 febbraio 2023 ore 11:00 in aula 12
Seguiranno comunicazioni via mail istituzionale (Infostud)

Appello 17 gennaio 2023 ore 11:00 in aula 12

Seguiranno comunicazioni via mail istituzionale (Infostud)
Svolgimento (tracce): PDF



Appelli 2024

17 gennaio (solo anni precedenti) 08:00 - 20:00
08 febbraio (solo anni precedenti)08:00 - 20:00



Appelli 2023

17 gennaio (solo anni precedenti)
08 febbraio (solo anni precedenti)
04 aprile (solo anni precedenti)
05 giugno ore 8:00-20:00 aula 13, via Scarpa (appello regolare)
14 luglio ore 8:00-20:00 aula 13, via Scarpa (appello regolare)
05 settembre ore 8:00-14:00 aula 13, via Scarpa (appello regolare) SPOSTATO AL 20