CORSO DI
LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE
CALENDARIO
DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II
LORENZO
GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI
A.A. 2017-2018
Tutti gli argomenti si intendono
comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi,
contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate,
dimostrazioni.
Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi
Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.
27.02 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA (D.R., CAUSA MALTEMPO)
1- 28.02 Introduzione. Richiami di calcolo vettoriale. Funzioni da
R^N in R: dominio naturale, immagine,
grafico. Insiemi d livello. Distanza
(euclidea).
* 2- 01.03 (CC) Intorni (sferici), punti di accumulazione.
(R^N)^*. Intorni di
infinito. Definizione di limite. Proprieta` elementari del limite.
Non esistenza del limite. Coordinate polari. Condizione necessaria
e sufficiente per l'esistenza del limite. Calcolo dei limiti.
3- 02.03 Continuita`. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti
esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi,
insiemi limitati. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi
compatti. Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate
parziali.
4- 06.03 Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle
derivate parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se
N>1. Gradiente. Funzioni differenziabili. Proprietà elementari
delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni
differenziabili. Il teorema del differenziale totale.
5- 07.03 Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Il gradiente come direzione
di massima crescita. Punti critici (stazionari).
Il Teorema di Fermat. Derivate direzionali e parziali di
ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana.
6- 08.03 Il Teorema di
Peano al secondo ordine. Proprietà. Matrici
(semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori.
Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive
(negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti
critici.
7- 09.03 Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei
punti stazionari interni) per funzioni di due variabili (tramite
lo studio della matrice hessiana o tramite la definizione).
Massimi e minimi
assoluti su un insieme compatto: metodo diretto.
* 8- 13.03 (CC) Curva. Curva piana. Curva semplice. Curva
chiusa. Vettore velocita`. Velocita` scalare. Curva di classe C^1.
Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Ascissa
curvilinea (parametro d'arco). Vettore accelerazione. Lunghezza di
una curva. Curva rettificabile. Formula integrale per il calcolo
della lunghezza. Densita` lineare e massa
di un filo curvilineo.
* 9- 14.03 (CC) Integrale curvilineo di una funzione (di
prima specie). Curve equivalenti (con lo
stesso verso, con verso opposto). L'integrale curvilineo di I
specie è invariante per curve equivalenti. Massa e baricentro
di un filo curvilineo omogeneo e non omogeneo.
10- 15.03 Regola della catena per funzioni composte con
curve. Integrali dipendenti da
un parametro: definizione, continuità e derivabilità.
Il baricentro come
punto di minimo assoluto della distanza quadratica media. Il teorema delle funzioni
implicite (o di Dini) in R^2. Controesempi al teorema di
Dini. Calcolo della derivata prima della funzione
implicita.
11- 16.03 Calcolo delle derivate
successive della funzione implicita. Punto
regolare di un insieme di livello. Il gradiente e` ortogonale
all'insieme di livello in un suo punto regolare.
Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un
suo punto regolare. Estremi vincolati in R^2. Determinazione
degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto.
12- 20.03 Teorema dei moltiplicatori
di Lagrange in R^2. Determinazione degli estremi
vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Natura
dei punti critici vincolati attraverso il metodo diretto. Massimi
e minimi assoluti su un insieme compatto attraverso il metodo dei
moltiplicatori.
13- 21.03 Integrale doppio e integrabilità
di funzioni definite su un rettangolo. Proprietà. Classi di funzioni
integrabili. Insiemi misurabili del piano.
Insiemi non misurabili. Formule di riduzione sui
rettangoli.
14- 22.03 Integrali doppi ed integrabilità su insiemi
misurabili. Proprietà, teorema
della media integrale, classi di funzioni integrabili. Domini semplici o
normali rispetto a un asse in R^2. Area di un dominio
semplice/normale. Formule di riduzione sui domini
normali. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali
doppi. Massa e baricentro di
una lamina piana omogenea o non omogenea.
15- 23.03 Domini
ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Cambiamento di variabili
negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una
trasformazione. Interpretazione geometrica dello Jacobiano.
Coordinate polari.
16- 27.03 Coordinate polari. Coordinate ellittiche. Altri
cambi di coordinate. Massa e baricentro di una
lamina piana non omogenea.
17- 28.03 Integrali tripli. Formule di riduzione: integrazione
per fili e per strati. Solidi di rotazione. Volume dei solidi di rotazione.
Volume, densità di massa,
massa e baricentro di un solido. Cambiamenti di variabile
negli integrali tripli. Coordinate cilindriche. Coordinate
sferiche.
VACANZE PASQUALI
18- 04.04 Coordinate cilindriche. Coordinate
sferiche. Campi vettoriali (e forme
differenziali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e
lavoro di un campo vettoriale) o di II specie. Relazione tra
integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II
specie. Proprieta`.
19- 05.04 Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso.
Forme differenziali esatte (e
campi vettoriali conservativi). L'integrale curvilineo di una
forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino.
Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione
potenziale.
20- 06.04 Divergenza di un campo vettoriale. Rotore di un campo
vettoriale in R^2 e in R^3. Insiemi connessi (per archi). Forme
differenziali chiuse (e campi vettoriali irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1
sono chiuse (ma il viceversa e` falso). Curve omotope. Insieme
semplicemente connesso. Le forme chiuse su insiemi semplicemente
connessi sono esatte. Il campo di induzione magnetica.
21- 10.04 Derivata di integrali
dipendenti da un parametro in cui sia la funzione integranda
che gli estremi dipendono da un parametro. Formule di Green su domini
semplici di R^2 regolari a tratti.
22- 11.04 Domini regolari a tratti. Formule di Green su domini
di R^2 regolari a tratti. Area di un dominio
regolare a tratti. Normale esterna a un dominio di
R^2 regolare a tratti. Teorema della divergenza in R^2.
23- 12.04 Flusso di un campo vettoriale piano. La divergenza
come densita' di flusso. Teorema del rotore in R^2. Circuitazione
di un campo vettoriale piano. Il rotore come densita' di
circuitazione.
24- 13.04 Formula di
integrazione per parti in R^2. Esercizi di riepilogo (test
di autovalutazione).
25- 17.04 Introduzione alle superfici: parametrizzazioni di una
superficie, esempi vari, superfici cartesiane. Linee coordinate e vettori
tangenti ad una superficie. Identificazione del piano tangente e dei versori
normali a una superficie in un punto.
26- 18.04 Punti regolari. Versori normali ad una superficie in
un suo punto regolare. Superfici regolari. Superfici regolari a
tratti. Superfici di rotazione.
27- 19.04 Elemento d'area. Area di una superficie. Area di
superfici di rotazione. Integrale di una funzione su una
superficie.
28- 20.04 Superfici orientabili. Esempi vari. Flusso di campo
vettoriale attraverso una superficie orientabile. Bordo e
orientazione del bordo di una superficie regolare.
29- 24.04 Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in
R^3. La
divergenza come densita` di flusso uscente per unita` di volume. Operatore di Laplace. Formule di integrazione per
parti in R^3.
* 30- 26.04 (CC) Teorema del
rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densità
di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area. Teorema del rotore in R^3
come generalizzazione del teorema del rotore in R^2. Campi
irrotazionali e campi conservativi in domini semplicemente
connessi di R^3.
* 31- 27.04 (CC) Verifica del teorema del
rotore in R^3 in alcuni esempi. Equazioni differenziali
ordinarie (EDO): ordine, forma implicita o esplicita,
omogeneità, linearità, coefficienti. EDO lineari del primo
ordine. Integrale generale di una EDO lineare del primo ordine.
* 32- 02.05 (CC) Derivata prima come operatore lineare tra spazi di
funzioni. Nucleo dell'operatore derivata prima e sua non
iniettività. Struttura dell'integrale generale di una EDO di
primo ordine lineare: struttura dell'integrale generale
dell'omogena associata, soluzione particolare. EDO a variabili
separabili.
* 33- 03.05 (CC) Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità
locale per problemi di Cauchy in forma normale. Intervallo massimale
di esistenza della soluzione.
* 34- 04.05 (CC) Cambiamenti di variabili nelle EDO. EDO del primo
ordine riconducibili ad EDO lineari o a variabili separabili:
y'=f(y/x), y'=f(ax+by), equazioni di Bernoulli e relativi
problemi di Cauchy. EDO lineari del secondo ordine: definizione.
* 35 - 08.05 (CC) EDO lineari del secondo ordine:
struttura dell'integrale generale. EDO lineari del secondo ordine
a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale
dell'equazione omogenea.
* 36 - 09.05 (CC) EDO lineari del secondo ordine a
coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza.
* 37 - 10.05 (CC) EDO lineari del secondo ordine a
coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle
costanti. Wronskiano. Problema di Cauchy: esistenza e unicità
locale e globale per EDO lineari del secondo ordine.
* 38 - 11.05 (CC) Cenni alle EDO lineari a coefficienti
costanti di ordine n. Abbassamento dell'ordine di una EDO.
Applicazione delle EDO: oscillatore armonico forzato. Forzante
periodica e fenomeno della risonanza.
* 39- 15.05 (CC) Equazioni di Eulero, equazioni autonome
del II ordine e relativi problemi di Cauchy.
40- 16.05 Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Differenziabilità
e differenziale. Regola della catena. Il teorema di Dini in R^N.
41- 17.05 Il teorema di Dini in R^3.
Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con uno o due
vincoli.
* 43- 22.05
* 44- 23.05
* 45- 24.05
46- 25.05
47- 29.05
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LEZIONI DELL'ANNO PRECEDENTE (VENGONO VIA VIA ESPUNTE)
Accelerazione scalare.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Insiemi e funzioni convesse.
26.05 Cenni alle equazioni alle derivate parziali.
30.05 (CC) Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema
di sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue.
Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei
coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e
simmetrie.
31.05 (CC) Teorema di sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche
continue a tratti. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni
2L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati.
Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di
Fourier.
01.06 Esercizi di riepilogo.