LEZIONI DEL LABORATORIO DI ANALISI
MATEMATICA
Proff. Lorenzo Giacomelli
a.a. 2014/2015
C.d.L. Ingegneria Aerospaziale - Canale UNICO
I punti del programma si intendono comprensivi di definizioni,
enunciati, esempi, contresempi, applicazioni e, per le
parti
sottolineate, dimostrazioni.
Testo consigliato: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi
Matematica, seconda edizione. McGraw-Hill, 2011.
30.09 Equazioni e disequazioni lineari. Equazioni e
disequazioni di II grado. Equazioni e disequazioni razionali.
Rappresentazione
cartesiana di
R^2.
Introduzione al metodo
grafico.
02.10 Valore
assoluto: proprieta`, grafico qualitativo. Determinazione del
grafico di |f(x)| a partire dal grafico di f(x). Equazioni e
disequazioni con il valore assoluto (metodo grafico).
07.10 Determinazione del grafico di f(|x|) a partire dal
grafico di f(x). Equazioni e disequazioni con il valore assoluto
(metodo grafico). Grafici qualitativi di funzioni composte:
traslazioni.
09.10 Grafici qualitativi di funzioni composte:
riscalamenti, riflessioni. Equazioni e disequazioni con
riscalamenti e riflessioni (metodo grafico).
14.10 Monotonia di funzioni composte.
Funzione somma,
funzione prodotto e loro proprieta` di monotonia.
Equazioni
e disequazioni con funzioni composte (metodo grafico).
16.10 Parte negativa, parte positiva, funzione massimo,
funzione minimo, e loro grafico qualitativo. Utilizzo del grafico
qualitativo per la determinazione di estremo superiore, estremo
inferiore, massimo, minimo e punti di massimo o minimo locale di
una funzione.
21.10 Principio di induzione. Sommatorie.
Somma dei
primi n interi. Disuguaglianza di Bernoulli.
Successioni ricorsive. Valori ammissibili del limite di una
successione ricorsiva. Utilizzo di monotonia e principio di
induzione.
Algoritmo ``di Erone''.
23.10 La successione di Fibonacci. Sezione aurea. Equazioni
e disequazioni irrazionali.
28.10 Sistemi di equazioni non lineari.
30.10 Divisione di polinomi. Equazioni e disequazioni
logaritmiche.
04.11 Equazioni e disequazioni logaritmiche. Coefficienti
binomiali. Elementi di calcolo combinatorio. Formula del binomio
di Newton.
06.11 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA
11.11 Equazioni e disequazioni trigonomtriche
.
13.11 Scomposizione in fratti semplici. Scomposizione di
Hermite.
20.11 Esempi di esercizi di esame.
27.11
04.12
11.12
19.12
CALENDARIO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA DELL'ANNO PRECEDENTE.
GLI ARGOMENTI SVOLTI (QUI E/O NEL LABORATORIO) VENGONO VIA VIA
ESPUNTI
Verifica di un limite con l'utilizzo della definizione. Unicita`
del limite. Limite destro (sinistro).
Permanenza del segno.
Limite destro e sinistro. Non esistenza del limite.
14.10 Limite di
funzione monotona. Limiti di funzioni potenza, esponenziali,
logaritmiche, trigonometriche. Operazioni sui limiti. Teorema del
confronto. Aritmetica parziale di R*.
15.10 Limite di funzioni razionali. Forme
indeterminate.
Limite di funzione composta.
16.10 Funzioni infinitesime, funzioni infinite. Il
simbolo di Landau "o(1)" (o piccolo di 1).
Algebra di "o(1)".
Limiti notevoli di funzioni
trigonometriche e trigonometriche inverse.
Disuguaglianza di Bernoulli.
17.10 Gerarchie di infiniti. Confronto tra funzioni
infinite e tra funzioni infinitesime.
Confronto tra infiniti per successioni.
Il numero e.
Altri limiti notevoli.
21.10 Funzioni iperboliche e iperboliche inverse.
Asintoto orizzontale,
verticale, obliquo.
22.10 Sottosuccessioni. Non esistenza di limiti. Il
simbolo "o(g)" (o piccolo di g).
Algebra di "o(g)".
23.10 Continuità. Continuità delle funzioni
elementari. Proprietà elementari. Punti di discontinuità.
24.10 Teorema degli zeri. Risoluzione di
(dis)equazioni mediante il metodo grafico. Caratterizzazione
dell'estremo superiore (inferiore) di una funzione.
Teorema dei valori intermedi.
Teorema di Bolzano-Weierstrass. Ogni successione limitata
ammette una sottosuccessione convergente.
Teorema
di Weierstrass. Teorema
ponte e non esistenza di limiti.
28.10 Rapporto
incrementale. Migliore approssimazione lineare e retta tangente.
Derivabilità e derivata.
Derivate di funzioni elementari. Punto a
tangente verticale, punto angoloso, cuspide.
29.10 Proprietà elementari.
Derivata di funzione
composta. Derivata di funzione inversa.
Teorema di Fermat.
30.10 Estremi locali
e derivata prima.
Teorema di Rolle. Teorema di
Lagrange. Relazioni
tra
derivata prima e monotonia. Determinazione di estremo superiore, estremo
inferiore ed eventuali massimi e minimi locali o assoluti. Studio
del grafico di una funzione reale di una variabile reale
nell'ipotesi di "minimo numero di flessi".
31.10 (CC) Numeri complessi. Rappresentazione
cartesiana dei numeri complessi: parte reale, parte immaginaria,
operazioni, modulo, coniugio
.
04.11 Derivate di ordine superiore. Funzioni
convesse e concave. Relazioni fra derivata seconda e convessità.
Teorema
di Cauchy.
Teorema di de l'Hospital.
05.11
Derivata destra, sinistra.
Polinomi di Taylor e di McLaurin.
Teorema di Peano. Applicazioni del teorema di
Peano al calcolo dei limiti.
06.11 Applicazioni del Teorema di Peano.
Natura dei punti critici interni mediante il segno della derivata
seconda.
07.11 Esercizi di riepilogo.
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II PARTE (Prof. Christian Casalvieri)
11.11 Coordinate polari. Rappresentazione
trigonometrica dei numeri complessi.
Prodotto,
potenze n-esime.
12.11 Rappresentazione esponenziale. Radici
n-esime. Teorema fondamentale dell'algebra.
13.11 Integrale (di Riemann) e integrabilità
(secondo Riemann). Alcune classi di funzioni integrabili.
Proprietà elementari.
Teorema
della media.
14.11 Funzione integrale.
Teorema fondamentale
del calcolo integrale.
Funzione primitiva. Integrali definiti di funzioni
definite a tratti. Integrale indefinito.
18.11 Integrazione per parti. Integrazione per
sostituzione.
19.11 Integrazione di funzioni razionali. Alcune
sostituzioni particolari.
20.11 Integrali su intervalli illimitati (impropri
di I specie): calcolo diretto per alcuni campioni, criterio del
confronto, criterio del confronto asintotico.
21.11 Serie numeriche.
Calcolo diretto di alcune somme:
serie geometriche, serie di Mengoli, serie
telescopiche.
Condizione necessaria per la
convergenza di una serie. Linearità.
Comportamento della
coda di una serie.
Serie
a termini positivi:
carattere.
25.11 Criterio
integrale per le serie numeriche.
Carattere della serie
armonica generalizzata e della serie di Abel. Criterio del
confronto, criterio del confronto asintotico. Studio del
carattere di serie numeriche mediante applicazioni del teorema di
Peano.
26.11 Criterio del rapporto,
criterio della
radice.
Serie a segno alterno e
criterio di Leibnitz. Convergenza assoluta.
27.11 Integrali di funzioni non limitate (impropri
di II specie): calcolo diretto per alcuni campioni, criterio del
confronto, criterio del confronto asintotico
.
28.11 Equazioni differenziali ordinarie (EDO):
definizione, classificazione (ordine, linearità, omogeneità, forma
implicita o esplicita, coefficienti).
EDO del primo ordine lineari. EDO del primo
ordine a variabili separabili.
02.12 Problema di Cauchy, teorema di Cauchy,
intervallo massimale di esistenza di una soluzione.
EDO del secondo ordine
lineari a coefficienti costanti.
Struttura dell'integrale
generale. Integrale generale dell'omogenea
.
03.12 EDO del
secondo ordine lineari a coefficienti costanti: soluzione
particolare. Metodo di somiglianza.
04.12 EDO del secondo ordine lineari:
metodo
della variazione delle costanti. Riduzione dell'ordine.
05.12 EDO risolubili mediante cambiamento di
variabile. EDO di Bernoulli. EDO autonome
del secondo
ordine.
09.12 Funzioni da
R^N in
R^M.
Funzioni da
R^2 in
R. Insiemi di livello. Curve.
Dominio naturale. Distanza in
R^2, intorni (circolari).
Prodotto scalare. Punti di accumulazione, punti interni, punti
esterni, punti di frontiera, frontiera. Insiemi aperti, chiusi,
limitati, illimitati, compatti.
10.12 Definizione di limite e di continuità,
proprietà elementari, non esistenza di limiti. Derivate parziali.
Gradiente.
11.12 Differenziabilità. Piano tangente. Proprietà
elementari. Teorema del differenziale totale.
12.12 Derivate direzionali. Derivate direzionali
di funzioni differenziabili. Punti di massimo e minimo
locale per funzioni di due variabili. Punti stazionari. Teorema di
Fermat per funzioni di due variabili. Punti di massimo assoluto e
di minimo assoluto. Teorema di Weierstrass in
R^2.
Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz
.
16.12 Matrice Hessiana.
Formula di Taylor al
secondo ordine. Integrali doppi su rettangoli: definizione,
proprietà, formule di riduzione.
17.12 Integrali doppi: il caso generale. Insiemi
misurabili secondo Peano-Jordan. Integrabilità di funzioni
continue su insiemi misurabili.
18.12 Domini normali
.
Formule di riduzione
. Domini ammissibili (ovvero
scomponibili in domini normali).
19.12 Cambiamento di variabili negli integrali
doppi
. Determinante
Jacobiano.