CORSO DI
LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE
LORENZO
GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI
A.A. 2014-2015
Tutti gli argomenti si intendono
comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi,
contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate,
dimostrazioni.
02.03 Richiami sullo spazio vettoriale R^N. Funzioni da R^N
in R: dominio naturale,
immagine, grafico, insiemi di livello.
Coordinate polari. Simmetrie.
03.03 Distanza (euclidea), intorni (sferici), (R^N)^*, punti di
accumulazione. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di
frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi. Caratterizzazione degli
insiemi chiusi. Insiemi compatti. Caratterizzazione dei
compatti.
04.03 Disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz. Definizione di limite. Proprieta`
elementari del limite. Non esistenza del limite.
05.03 Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del
limite. Continuita`. Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali.
09.03 Derivate parziali.
Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate
parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1.
Gradiente. Funzioni differenziabili.
10.03 Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari
delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni
differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di
funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita.
Il teorema del differenziale totale.
11.03 Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema
di Schwarz. Matrice Hessiana. Punti critici (stazionari). Il
Teorema di Fermat. Il Teorema di Peano al secondo ordine.
12.03 Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e
loro autovalori. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite
positive (negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti
critici.Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei
punti stazionari interni) per funzioni di due variabili. Studio
dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari
interni) per funzioni di due variabili attraverso la definizione
16.03 (CC) Equazioni differenziali
ordinarie (EDO). Ordine, forma implicita o esplicita, omogeneita`,
linearita`, coefficienti. EDO lineari del primo ordine: struttura
delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni
dell'equazione non omogenea.
17.03 EDO del primo ordine a variabili separabili. Problema di
Cauchy.
18.03 Problema di Cauchy: esistenza locale e unicita` della
soluzione, intervallo massimale di esistenza. Esempi di riepilogo.
Cambiamento della variabile dipendente, riduzione dell'ordine
(caso banale).
19.03 EDO lineari del primo ordine: metodo della variazione delle
costanti, metodo ad-hoc (o di somiglianza) per EDO a coefficienti
costanti.
23.03 (CC) EDO lineari del
secondo ordine: struttura dell'integrale generale. EDO
lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura
dell'integrale generale dell'equazione omogenea.
24.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti
costanti non omogenee: metodo di somiglianza.
25.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti
costanti non omogenee: metodo della variazione delle costanti. Problema
di Cauchy.
26.03 (CC) EDO lineari di ordine n a coefficienti
costanti: integrale generale dell'omogenea. Cambiamenti di
variabile. Classi particolari di EDO: equazioni di Bernoulli.
30.03 (CC) Classi particolari di EDO: equazioni di
Eulero. Classi particolari di EDO: equazioni autonome del secondo
ordine e relativi problemi di Cauchy.
31.03 (CC) Richiami:
funzioni periodiche e loro proprietà. Cenni di successioni di
funzioni. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema
di sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue.
Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei
coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e
simmetrie.
01.04 (CC) Teorema
di sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue
a tratti. Fenomeno di Gibbs. Generalizzazioni: sviluppo di
funzioni 2L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su
intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie
attraverso la serie di Fourier.
VACANZE PASQUALI
08.04 Curva. Curva piana. Curva semplice. Curva chiusa. Curva di
classe C^1. Vettore velocita`. Vettore accelerazione. Velocita`
scalare. Accelerazione scalare. Curva regolare. Vettore e versore
tangente a una curva. Curva rettificabile e sua lunghezza.
09.04 Orientazione di una curva. Curva di Jordan. Cambiamenti di
parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con
verso opposto). La
lunghezza non dipende dalla parametrizzazione. Densita`
lineare e massa di un filo curvilineo. Integrale curvilineo di una
funzione (di prima specie).
13.04 Forme differenziali
(e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma
differenziale o di II specie (e lavoro di un campo vettoriale).
Proprieta`. Invarianza
per curve equivalenti con lo stesso verso.
14.04 Relazione tra
integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II
specie. Insieme connesso. Forme differenziali esatte
(e campi vettoriali conservativi). L'integrale curvilineo di
una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del
cammino.
15.04 Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della
funzione potenziale.
16.04 Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Forme
differenziali chiuse (e campi vettoriali irrotazionali). Le forme esatte di classe
C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).
20.04 Insieme semplicemente connesso.
Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte.
Insieme di livello e funzione implicita in R^2. Il teorema delle
funzioni implicite (o di Dini) in R^2.
21.04 Calcolo della derivata prima e delle derivate
successive della funzione implicita. Controesempi al teorema
di Dini. Punto regolare di un insieme di livello. Il
gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto
regolare.
22.04 Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello
in un suo punto regolare. Estremi vincolati in R^2. Teorema dei moltiplicatori
di Lagrange in R^2. 23.04 Determinazione degli
estremi vincolati in R^2: metodo diretto, metodo dei
moltiplicatori di Lagrange.
27.04 (CC) Estremi assoluti
di funzioni di due variabili su insiemi compatti. Integrale doppio
e integrabilità di funzioni definite su un rettangolo. Proprietà
elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui
rettangoli.
28.04 (CC) Integrali doppi su insiemi più generali.
Esempi di funzioni non integrabili. Insiemi misurabili del
piano. Integrali doppi ed integrabilità su insiemi misurabili.
Proprietà elementari e teorema della media. Alcune classi di
funzioni integrabili.
29.04 (CC) Domini normali (semplici) rispetto a un asse.
Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili
(ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su
un dominio ammissibile.
30.04 (CC) Cambiamento di variabili negli integrali
doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione.
Coordinate polari. Interpretazione geometrica dello
Jacobiano. Coordinate ellittiche. Altri cambi di
coordinate. Esempi.
04.05 (CC) Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali
doppi. Alcune applicazioni fisiche degli integrali doppi:
massa, baricentro e momento di inerzia di una lamina piana sia
omogenea che non omogenea.
05.05 Integrale triplo e integrabilità di funzioni definite su un
parallelepipedo. Formule di riduzione "per fili" e "per strati" su
parallelepipedi. Domini semplici rispetto ad un asse e
integrazione "per fili".
06.05 Domini semplici rispetto a un piano e integrazione "per
strati". Volume, densità di massa e massa di un solido.
Baricentro di un solido sia omogeneo che non omogeneo. Solidi di
rotazione.
07.05 Calcolo di volumi di solidi di rotazione. Cambiamento di
variabili negli integrali tripli. Coordinate cilindriche.
Coordinate sferiche.
11.05 Divergenza di un campo
vettoriale. Formule di
Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti.
Applicazioni.
12.05 Formule di Green
su domini di R^2 regolari a tratti. Area di un dominio regolare
a tratti. Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a
tratti. Teorema della
divergenza in R^2.
13.05 Teorema del
rotore in R^2. Superfici (elementari).
14.05 Parametrizzazioni di una superficie. Superfici
cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie. Identificazione del piano
tangente e dei versori normali a una superficie in un punto.
Punti regolari. Piano tangente e versori normali a una superficie
in un punto regolare. Superfici regolari. Superfici di rotazione.
18.05 (CC) Area di una
superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di
funzione su una superficie.
19.05 Superfici orientabili. Flusso di campo vettoriale attraverso
una superficie orientabile. Orientazione del bordo di una
superficie regolare. Massa e baricentro di una lamina (omogenea e
non omogenea).
20.05 Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3.
La divergenza come
densita` di flusso uscente per unita` di volume. Operatore di Laplace.
Formule di
integrazione per parti in R^3.
21.05 Teorema
del rotore in R^3. Il rotore (scalar una
direzione) come densita` di cicuitazione (intorno a un asse) per
unita` di area.
25.05 Superfici composte. Integrale di funzione su superfici
composte. Integrali dipendenti da un parametro: definizione,
continuita` e derivabilita`. Derivata di integrali in cui sia
la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro.
Formule di Green su
domini semplici di R^2 regolari a tratti (II parte).
Esempi di riepilogo.
26.05 Esempi di riepilogo.
27.05 Insiemi convessi. Funzioni convesse. Condizioni necessarie e
sufficienti per la (stretta) convessita` di funzioni due volte
differenziabili. Esempi di riepilogo.
28.05 Ascissa curvilinea (parametro d'arco). Esempi di riepilogo.
LEZIONI DEGLI ANNI PRECEDENTI