PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1
Proff. Lorenzo Giacomelli e Christian
Casalvieri
A.A. 2014/2015
C.d.L. Ingegneria Aerospaziale - canale A-K
Per informazioni complete e
aggiornate sul corso si veda http://www.sbai.uniroma1.it/~lorenzo.giacomelli
I punti del programma si intendono comprensivi di definizioni,
enunciati, esempi, contresempi e applicazioni. Le parti
sottolineate sono state dimostrate.
Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi
Matematica, seconda edizione. McGraw-Hill 2011.
Elementi di base.
Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi, razionali.
Operazioni, ordinamento, densitā. La "radice di 2" non e' un
numero razionale. Numeri reali (R nel seguito): operazioni, ordinamento, densitā,
rappresentazione cartesiana. Intervalli. Valore assoluto. Distanza
euclidea in R. Segno,
parte intera, parte positiva, parte negativa. Disuguaglianza triangolare. Maggiorante
(minorante), massimo (minimo), estremo superiore (inferiore).
Completezza di R. Radicali,
potenze, esponenziali, logaritmi, grandezze trigonometriche.
Funzione: dominio, codominio, immagine, grafico. Restrizioni.
Proiezioni. Relazioni fra grafico e dominio e immagine. Funzioni
iniettive, suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa.
Successioni. Sommatorie. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli.
Numeri complessi.
Numeri complessi. Rappresentazione cartesiana. Parte reale. Parte
immaginaria. Operazioni. Modulo. Coniugio. Coordinate polari.
Rappresentazione trigonometrica. Potenze n-esime di numeri complessi.
Rappresentazione esponenziale. Radici n-esime complesse. Teorema
fondamentale dell'algebra. Equazioni in campo complesso.
Funzioni di una variabile reale a valori reali.
Funzione pari, funzione dispari. Funzione monotona. Funzione
periodica, periodo. Funzioni massimo e minimo, funzioni segno,
parte intera, valore assoluto, potenza, esponenziale, logaritmo,
parte positiva, parte negativa, trigonometriche e trigonometriche
inverse; loro grafici qualitativi. Funzioni composte. Composizione
di funzioni monotone. Monotonia di funzioni composte.
Funzione somma, funzione prodotto e loro proprieta` di
monotonia. Grafici qualitativi di funzioni composte:
traslazioni, riscalamenti, riflessioni, composizioni con il valore
assoluto. Prima relazione fra invertibilitā e monotonia. Funzioni
superiormente (inferiormente) limitate, funzioni limitate. Estremo
superiore (inferiore), massimo (minimo) assoluto, massimo (minimo)
locale di una funzione. Caratterizzazione dell'estremo superiore
(inferiore) di una funzione. Punti di massimo (minimo) assoluto
(locale). Utilizzo del grafico qualitativo per la determinazione
di estremo superiore (inferiore) e massimi (minimi) locali e
assoluti.
Limiti.
Elementi di topologia in R:
distanza, intorni, R*, punti di
accumulazione. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Punto
interno, punto esterno, punto di frontiera; interno, chiusura e
frontiera di un insieme; insieme aperto, insieme chiuso. Ogni
insieme chiuso e limitato ammette massimo e minimo. Insieme
compatto (per successioni). Caratterizzazione dei compatti di R .
Il concetto di limite di funzioni reali di una variabile reale:
definizione, unicita'. Limiti destro, sinistro, per eccesso, per
difetto. Proprieta' elementari: permanenza del segno, confronto,
operazioni. Aritmetica parziale di R*. Limite di
funzione monotona. Limiti di funzioni potenza, razionali,
esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Limite di funzione
composta. Forme indeterminate. Funzioni infinitesime, funzioni
infinite. Il simbolo di Landau "o(1)" (o piccolo di 1). Algebra di "o(1)". Limiti notevoli di funzioni
trigonometriche e trigonomentriche inverse. Gerarchie di infiniti. Confronto tra funzioni
infinite e tra funzioni infinitesime.
Limiti di successioni: proprietā, sottosuccessioni, non esistenza
di limiti, gerarchie di infiniti per successioni.
Successioni ricorsive. Il numero e. Altri limiti notevoli.
Funzioni iperboliche e iperboliche inverse; loro grafici
qualitativi. Il simbolo di Landau "o piccolo". Algebra degli "o piccolo". Asintoto
orizzontale, verticale, obliquo. Teorema
"ponte" e non esistenza di limiti.
Continuitā delle funzioni reali di una variabile reale.
Definizione di funzione continua. Continuitā delle funzioni
elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni
trigonometriche e iperboliche).
Punti di discontinuitā. Proprieta' elementari. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi.
Sottosuccessioni. Teorema ponte e non esistenza di limiti. Ogni
successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Risoluzione di (dis)equazioni
con metodo grafico. Teorema
di Weierstrass. Funzioni Lipschitziane.
Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
Migliore approssimazione lineare di una funzione in un punto. Retta
tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivata. Derivata
destra (sinistra). Punto angoloso. Cuspide. Derivate di funzioni
elementari. Proprietā
elementari. Derivata
di
funzione composta. Calcolo delle derivate. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di
Lagrange. Relazioni
tra derivata prima e monotonia. Teorema di Cauchy.
Teorema di de l'Hopital.
Funzioni concave e convesse. Derivate di ordine superiore. Relazioni
tra derivata seconda e convessitā. Studio del grafico di una
funzione reale di una variabile reale. Risoluzione di equazioni e
disequazioni mediante il metodo grafico. Determinazioni di (punti
di) massimo e minimo locale o assoluto, estremo superiore ed estremo
inferiore di una funzione. Polinomi di Taylor e di McLaurin. Teorema di Peano.
Teoria dell'integrazione per
funzioni reali di una variabile reale.
Integrale (di Riemann) e integrabilitā (secondo Riemann). Alcune
classi di funzioni integrabili. Proprietā elementari. Teorema della media.
Funzione integrale. Teorema
fondamentale del calcolo integrale. Funzione primitiva.
Integrale indefinito. Integrazione per parti. Integrazione per
sostituzione. Integrazione di funzioni razionali . Alcune
sostituzioni particolari. Integrali definiti di funzioni definite a
tratti. Integrali impropri: definizione, calcolo diretto per alcuni
campioni, criterio del confronto, criterio del confronto
asintotico.
Serie numeriche.
Definizione di serie.
Carattere (convergente, divergente, irregolare) di una serie. Carattere di serie
geometriche, serie
di Mengoli, serie telescopiche. Condizione necessaria
per la convergenza. Linearitā. Convergenza della coda ed
errore. Serie a termini positivi: carattere (convergente o divergente). Criterio
integrale. Carattere
della serie armonica generalizzata e della serie di Abel.
Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico.
Studio del carattere di serie numeriche mediante applicazioni del
teorema di Peano. Criterio del rapporto. Criterio della radice.
Convergenza
assoluta. Serie a segno alterno. Criterio di Leibnitz.