CORSO DI
LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE
LORENZO
GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI
A.A. 2011-2012
Tutti gli argomenti si intendono
comprensivi di esempi, contresempi, applicazioni e, per le parti
sottolineate, dimostrazioni.
CALENDARIO
DELLE LEZIONI SVOLTE
27.02 Richiami sullo spazio vettoriale R^N. Funzioni da R^N in R^M: dominio naturale, insiemi di livello, curve, campi vettoriali.
29.02 Cenni di topologia in R^N: distanza euclidea, intorni (sferici), punti
interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti,
insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi chiusi, punti di
accumulazione.Definizione di limite.
Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite.
Continuita`.
01.03 Invarianze di R^N.
(R^N)^*. Coordinate
polari. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del
limite.
02.03 Derivate direzionali. Derivate parziali. Gradiente.
Proprieta` elementari delle derivate parziali. Differenziabilita`.
Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà
elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita`
delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate
direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione
di massima crescita.
05.03
(CC) Equazioni differenziali ordinarie. Ordine, forma
implicita o esplicita, omogeneita`, linearita`, coefficienti.
Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni
dell'equazione omogenea.
07.03 Il teorema del differenziale totale. Punti critici
(stazionari). Il Teorema di Fermat.
08.03 Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema
di Schwarz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine.
09.03 Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti
stazionari interni) per funzioni di due variabili.
12.03 Integrale doppio e
integrabilita` di funzioni definite su un rettangolo. Proprieta`
elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui
rettangoli. Insiemi misurabili del piano.
14.03 Integrali doppi su insiemi misurabili. Proprieta` elementari
e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili.
Domini normali (semplici) rispetto a un asse. Formule di riduzione
sui domini normali.
15.03 Densita`, massa e baricentro di una lamina piana. Domini
ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di
funzione su un dominio ammissibile.
16.03 Matrice Jacobiana. Cambiamenti di variabile negli integrali
doppi. Coordinate polari.
19.03 Integrali doppi: coordinate
ellittiche, altri cambi di coordinate.
20.03 Integrali tripli su parallelepipedi: integrazione per
strati, integrazione per fili. Domini semplici rispetto a un asse.
Domini semplici rispetto a un piano. Formule di riduzione per fili
e per strati. Massa e baricentro di un solido.
21.03 Volume di solidi di rotazione. Cambiamento di variabili
negli integrali tripli. Coordinate cilindriche.
22.03 Coordinate sferiche.
25.03 Curva. Curva semplice. Curva
chiusa. Orientazione di una curva. Curva piana. Curva di
classe C^1. Vettore velocita`. Vettore accelerazione. Velocita`
scalare. Accelerazione scalare. Curva regolare e vettore tangente
a una curva. Regola
della catena. Curva rettificabile e sua lunghezza. Curve
cartesiane e loro lunghezza.
27.03 Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo
stesso verso, con verso opposto). La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione.
Densita` lineare e massa di un filo curvilineo. Integrale
curvilineo di una funzione.
28.03-03.04 (CC)
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari:
struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. Equazioni a
variabili separabili. Problema di Cauchy: esistenza locale e
unicita` della soluzione, intervallo massimale di esistenza.
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti:
struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea.
Equazioni differenziali ordinarie, II parte. Equazioni lineari del
secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: struttura
dell'integrale generale, metodo di somiglianza. Oscillatore
armonico.
04-10-04 VACANZE PASQUALI
11.04 Forme differenziali (e campi
vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e
lavoro di un campo vettoriale). Proprieta`. Forme differenziali
esatte (e campi conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale
esatta dipende solo dagli estremi del cammino.
Determinazione della funzione potenziale.
12.04 Rotore di un campo vettoriale di R^3. Forme
differenziali chiuse (e campi irrotazionali). Le forme esatte di classe
C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).
13.04 Caratterizzazione delle forme esatte. Curve omotope in un
insieme. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse in aperti
semplicemente connessi sono esatte. Curve di classe C^1 a tratti.
Curve regolari a tratti. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari
a tratti.
16.04 (CC ) Equazioni lineari del secondo ordine a
coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle
costanti.
18.04 Formule di Green
su domini di R^2 in domini regolari a tratti. Domini di
Green e orientazione della loro frontiera. Divergenza di un campo
vettoriale. Versore normale esterna a un dominio di Green. Teorema della divergenza in
R^2.
19.04 Area di un
dominio di Green. Rotore di un campo vettoriale piano. Teorema del rotore in R^2.
Applicazioni dei teoremi della divergenza e del rotore.
20.04 Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici
cartesiane.
Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una
superficie in un punto.
23.04 Punti interni e bordo di una
superficie. Punti regolari. Piano tangente e versori normali a una
superficie in un punto regolare. Superfici regolari. Area di una
superficie. Integrale di funzione su una superficie.
26.04 Area di superfici di rotazione. Superfici orientabili.
Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile.
27.04 Teorema della
divergenza in R^3. Formule di integrazione per parti in R^3.
Operatore di Laplace.
30.04 SOSPENSIONE DELL'ATTIVITA`
DIDATTICA
02.05 Superfici invertibili. Orientazione del bordo di una
superficie regolare invertibile. Teorema del rotore in R^3.
03.05 (CC) Problema di
Cauchy. Riduzione dell'ordine di una EDO. Equazioni differenziali
ordinarie di ordine superiore al secondo.
04.05 Superfici composte. Integrale di funzione su superfici
composte. Teoremi della divergenzxa e del rotore su superfici
composte.
07.05 Vincolo in R^2. Estremi
vincolati in R^2. Curve di livello. Funzione implicita. Il teorema
delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Punto regolare di un
insieme di livello.
09.05 Successioni a valori vettoriali. Compattezza per
successioni. Caratterizzazione
dei compatti di R^N. Teorema di Weierstrass. Estremi assoluti di
funzioni di due variabili su insiemi compatti.
10.05 Complementi ed esempi di riepilogo su forme differenziali
chiuse ed esatte.
11.05 Conseguenze del teorema delle funzioni implicite. Retta
tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto
regolare. Teorema dei
moltiplicatori di Lagrange in R^2.
14.05 Estremi vincolati in R^2 ed estremi assoluti di funzioni di
due variabili su insiemi compatti attraverso il teorema dei
moltiplicatori di Lagrange.
16.05 Esempi di riepilogo su estremi vincolati in R^2 ed estremi
assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti.
17.05
18.05 Disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz.
21.05 (CC ) Alcune classi particolari di edo: equazioni
di Bernoulli, equazioni di Eulero, equazioni autonome del secondo
ordine e relativi problemi di Cauchy.
23.05 (CC ) Oscillatore
armonico con condizioni al bordo omogenee. Armoniche. Polinomi
trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di
sviluppabilità di funzioni periodiche e continue a tratti.
Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei
coefficienti di Fourier.
24.05 (CC ) Relazione tra
coefficienti di Fourier e simmetrie. Esempi di sviluppo in serie
di Fourier. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni 2L-periodiche,
sviluppo di funzioni non periodiche definite su
intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie
attraverso la serie di Fourier.
25.05 Esercizi di riepilogo.
Limite di funzioni a valori
vettoriali.
Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`.
Insiemi convessi. Funzioni convesse.
Condizioni necessarie e sufficienti per la (stretta) convessita`
di funzioni due volte differenziabili.
ascissa curvilinea (parametro d'arco).