CORSO DI
LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE
PROGRAMMA
DI ANALISI MATEMATICA II
LORENZO
GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI
A.A. 2011-2012
Tutti gli argomenti si intendono
comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi,
contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate,
dimostrazioni.
FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI A
VALORI REALI
Richiami sullo spazio vettoriale R^N. Funzioni da R^N
in R^M: dominio naturale,
insiemi di livello, curve, campi vettoriali. Cenni di topologia in R^N: distanza euclidea, intorni
(sferici), punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi
aperti, insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi chiusi,
punti di accumulazione. Disuguaglianza
di Cauchy-Schwarz in R^2.
Invarianze di R^N. (R^N)^*. Definizione di limite.
Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite.
Coordinate polari. Condizione necessaria e sufficiente per
l'esistenza del limite. Limite di funzioni a valori vettoriali.
Successioni a valori vettoriali e loro limite. Continuita`.
Compattezza per successioni. Caratterizzazione dei compatti di R^N. Teorema di
Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali.
Gradiente. Proprieta` elementari delle derivate parziali.
Differenziabilita`. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari
delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni
differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di
funzioni differenziabili. Il
gradiente come direzione di massima crescita. Il teorema
del differenziale totale. Punti critici (stazionari). Il teorema di
Fermat. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema
di Schwarz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine.Studio dei
massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari
interni) per funzioni di due variabili. Estremi assoluti di funzioni
di due variabili su insiemi compatti.
INTEGRALI MULTIPLI
Integrale doppio e integrabilita` di
funzioni definite su un rettangolo. Proprieta` elementari e
teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli. Insiemi
misurabili del piano. Integrali doppi su insiemi misurabili.
Proprieta` elementari e teorema della media. Alcune classi di
funzioni integrabili. Domini normali (semplici) rispetto a un
asse. Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili
(ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su
un dominio ammissibile. Matrice Jacobiana. Cambiamenti di
variabile negli integrali doppi. Passaggio in coordinate polari,
passaggio in coordinate ellittiche, e altri cambi di coordinate.
Area di una figura piana. Densita`, massa e baricentro di una
lamina piana.
Integrali tripli su parallelepipedi: integrazione per strati,
integrazione per fili. Domini semplici rispetto a un asse. Domini
semplici rispetto a un piano. Formule di riduzione per fili e per
strati. Volume di un solido. Massa, densita` e baricentro di un
solido. Volume di solidi di rotazione. Cambiamento di variabili
negli integrali tripli. Passaggio in coordinate cilindriche e
sferiche.
CURVE,
FORME
DIFFERENZIALI
E INTEGRALI CURVILINEI
Curva. Curva semplice. Curva chiusa. Curva cartesiana. Orientazione
di una curva. Curva piana. Curva di Jordan. Orientazione positiva di
una curva di Jordan. Curva di classe C^1 (a tratti). Vettore
velocita`, velocita` scalare, vettore accelerazione, accelerazione
scalare. Curva regolare (a tratti) e vettore tangente a una curva.
Versore tangente. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve
equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). Curva
rettificabile e sua lunghezza. La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione.
Lunghezza di una curva cartesiana. Densita` lineare e massa di un
filo curvilineo. Integrale curvilineo di una funzione.
Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di
una forma differenziale (e lavoro di un campo vettoriale). Forme
differenziali esatte (e campi conservativi). L'integrale curvilineo di una
forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino.
Determinazione della funzione potenziale. Rotore di un campo
vettoriale di R^3. Forme differenziali chiuse (e campi
irrotazionali). Le forme
esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).
Caratterizzazione delle forme esatte. Curve omotope in un insieme.
Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse in aperti
semplicemente connessi sono esatte.
SUPERFICI E INTEGRALI DI
SUPERFICIE
Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane.
Punti interni e bordo di una superficie. Punti regolari. Piano
tangente e versori normali a una superficie in un punto regolare.
Area di una superficie. Integrale di funzione su una superficie.
Area di superfici di rotazione. Superfici orientabili. Orientazione
del bordo. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie.
Circuitazione di un campo vettoriale lungo il bordo di una
superficie. Superfici composte.
I TEOREMI DELLA DIVERGENZA E
DEL ROTORE
Formule di Green su domini
semplici di R^2 con frontiera regolare a tratti. Formule di Green su domini di
R^2 scomponibili in domini semplici con frontiera regolare a
tratti. Domini di Green e orientazione della loro
frontiera. Area di un
dominio di Green. Formule di integrazione per parti su un dominio di
Green. Divergenza di un campo vettoriale. Interpretazione
di divergenza e rotore. Versore normale esterna a un dominio di
Green. Teorema della
divergenza in R^2. Teorema del rotore in R^2.
Teorema della divergenza
in R^3. Formule di integrazione per parti in R^3. Operatore di Laplace.
Teorema del rotore in R^3. Teoremi della divergenza e del rotore su
superfici composte.
IL TEOREMA DELLE FUNZIONI IMPLICITE
IN R^2 E ALCUNE SUE APPLICAZIONI
Vincolo in R^2. Estremi vincolati in R^2. Curve di livello. Funzione
implicita. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2.
Insieme di livello. Punto regolare di un insieme di livello. Retta
tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto
regolare. Teorema dei
moltiplicatori di Lagrange in R^2. Estremi vincolati in
R^2. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi
compatti attraverso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
ORDINARIE
Equazioni
differenziali
ordinarie:
ordine,
forma implicita o esplicita, omogeneita`, linearita`,
coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle
soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni
dell'equazione non omogenea. Equazioni a variabili separabili.
Problema di Cauchy: esistenza locale e unicita` della soluzione,
intervallo massimale di esistenza. Equazioni lineari del secondo
ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale,
metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza,
problema di Cauchy. Riduzione dell'ordine di una EDO. Equazioni
differenziali ordinarie di ordine superiore al secondo. Alcune
classi particolari di edo: equazioni di Bernoulli, equazioni di
Eulero, equazioni autonome e relativi problemi di Cauchy.
SERIE DI FOURIER
Polinomi trigonometrici. Polinomi di
minima distanza quadratica media da una funzione. Coefficienti di
Fourier. Serie di Fourier. Convergenza delle serie di Fourier.
Determinazione della somma di una serie attraverso le serie di
Fourier.