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1. Spazi vettoriali
   1. Gruppi, campi, numeri complessi, teorema fondamentale dell’algebra.
   2. Definizione di spazio vettoriale su un campo \(\mathbb K\); Esempi (funzioni a valori in uno spazio vettoriale, \(\mathbb K^n\), vettori geometrici del piano e dello spazio, polinomi, polinomi di grado minore o uguale ad \(n\)).
   3. Combinazioni lineari, combinazioni convesse ed affini.
   4. Sottospazi vettoriali, generatori, Span, Lemma di scambio. Inviluppo convesso. Segmento.
   5. Dipendenza ed indipendenza lineare.
   6. Basi e dimensione, coordinate.
   7. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali; formula di Grassmann; somma diretta di sottospazi vettoriali.
2. Applicazioni lineari
   1. Definizione ed esempi.
   2. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare; teorema della dimensione; rango.
   3. Applicazioni lineari e basi; funzione “coordinate in una base data”.
   4. Matrice associata ad un’applicazione lineare in due basi date; spazio delle colonne di una matrice.
   5. Moltiplicazione righe per colonne di matrici.
   6. Cambiamenti di base. Applicazioni lineari simili e teorema di classificazione.
   7. Algoritmo di eliminazione di Gauss; matrici a scala e a scala ridotta.
   8. Inverse destre e sinistre; inversa di una matrice quadrata; algoritmo di inversione.
   9. Matrici elementari.
   10. Spazio delle righe di una matrice. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.
3. Determinante
   1. Esistenza ed unicità del determinante.
   2. Sviluppi di Laplace.
   3. Teorema di Binet.
   4. Determinante 2 × 2 come area orientata.
   5. Determinante di Vandermonde.
   6. Matrice aggiunta e formula di Cramer.
4. Geometria affine del piano e dello spazio
   1. Sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini.
   2. Sottospazi affini di \(\mathbb R^2\) e loro posizione reciproca. Fasci di rette.
   3. Sottospazi affini di \(\mathbb R^3\) e loro posizione reciproca. Fasci di rette e piani.
5. Sistemi di equazioni lineari
   1. Matrici associate ad un sistema lineare, Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare.
   2. Teorema di Rouché-Capelli.
   3. Teorema degli orlati.
   4. Formula di Cramer per la soluzione di un sistema lineare non-singolare.
6. Spazi Euclidei
   1. Forme bilineari, matrice associata ad una forma bilineare in una base, cambiamento di base e matrici associate a forme bilineari, matrici congruenti.
   2. Forme bilineari simmetriche: Ortogonale di un sottospazio, teorema di decomposizione ortogonale, basi ortogonali, esistenza di una base ortogonale.
   3. Forme bilineari reali: teorema di Sylvester, segnatura di una forma bilineare, basi di Sylvester, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.
   4. Prodotti scalari (reali), esempi: prodotto scalare standard di \(\mathbb R^n\) , prodotto scalare \(L^2\) , prodotto di Lagrange nei polinomi.
   5. Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale; Algoritmo di Gram-Schmidt.
   6. Insiemi/basi ortogonali, coefficienti di Fourier.
   7. Distanza tra sottospazi affini.
   8. Norma, distanza tra punti.
   9. Angoli, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, Disuguaglianza triangolare, teorema di Pitagora.
   10. Soluzioni approssimate di un sistema non risolubile di equazioni lineari; equazioni normali di un sistema di equazioni lineari; tecniche di calcolo delle soluzioni approssimate; polinomio approssimante di dati statistici.
7. Geometria euclidea del piano e dello spazio
   1. Versori normali e direttori di una retta del piano e dello spazio; coseni direttori.
   2. Distanza punto-retta nel piano. Bisettrici di un angolo. Asse di un segmento.
   3. Circonferenze del piano; equazioni parametriche delle circonferenze; retta tangente ad un punto di una circonferenza.
   4. Isometrie del piano.
   5. Distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta nello spazio.
8. Autovalori ed autovettori:
   1. Definizione ed interpretazione geometrica.
   2. Autospazi; molteplicità geometrica di un autovalore.
   3. Endomorfismi diagonalizzabili.
   4. Teorema spettrale reale.
   5. Teorema di Cayley-Hamilton.
   6. Forme quadratiche definite positive.
   7. Classificazione affine e metrica delle coniche.
9. MATLAB:
   1. Il corso da 2 ore Matlab-Onramp è richiesto all’esame orale.
   2. Matrici simboliche.
   3. Calcolo di una base del nucleo e dell’immagine di una matrice.
   4. Calcolo della forma a scala ridotta di una matrice.
   5. Risoluzione di sistemi lineari, anche con parametro.
   6. Grafici in 2d.
   7. Calcolo del polinomio caratteristico e degli autovalori di una matrice.