Geometria II (Civile)

Università degli Studi La Sapienza di Roma

Facoltà di Ingegneria

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE

Anno Accademico 2006/07

1° semestre

CANALE UNICO DALLA A ALLA Z

L’esame consiste di una prova scritta e una successiva prova orale.

Sottolineo l’importanza fondamentale dello studio del libro di testo e non solo delle pagine dedicate agli esercizi. Gli esercizi debbono essere svolti solo come un’occasione per verificare la propria comprensione dell’argomento in questione ma non possono sostituire uno studio dettagliato e critico del libro di testo.

Alle prove scritte occorre prenotarsi tramite la segreteria didattica del MeMoMat nei tempi opportuni. Si raccomanda di portare fogli protocollo, l’occorrente per scrivere e un documento di identità.

PROGRAMMA (di massima) DEL CORSO di

GEOMETRIA II AA 2006-2007

Ingegneria Civile

Spazi vettoriali

Definizione.Spazio vettoriale delle matrici e dei polinomi.Sottospazi vettoriali intersezione e

somma. ([1] Cap 2)

Spazi vettoriali euclidei

Prodotto scalare euclideo.Spazi vettoriali euclidei.Matrici associate ad un prodotto scalare euclideo.

Modulo di un vettore;Diseguaglianze di Schwarz e triangolare.Ortogonalità. Complemento

ortogonale.Basi ortonormali.

Metodo di Gram-Schmidt.Cambiamenti di basi ortonormali.

(Vedi ad es. [1] Cap 3.)

Applicazioni lineari

Matrice associata ad una applicazone lineare o omomorfismo tra spazi vettoriali.Immagine e nucleo.

Rango e nullità di una applicazione lineare.Iniettività e suriettività.Isomorfismi.Endomorfismi e

matrici associate.Endomorfismi diagonalizzabili.

(Vedi ad es. [1] Cap 4 e 5.)

Forme quadratiche reali

Endomorfismi simmetrici.Diagonalizzazione.Forme quadratiche reali in una e piu’ variabili.

Matrice simmetrica reale associata a una forma quadratica e sue proprietà come operatore su Rn.

Nullità e segnatura di una forma quadratica.Invarianti per congruenza.Forma canonica metrica di

una forma quadratica.

(Vedi ad es. [2] Cap 2 e 5.)

Curve e luoghi geometrici del piano e dello spazio

Rappresentazione analitica di una curva e di una superficie.Alcune proprietà di una curva dedotte

dalla sua equazione.Classificazione delle coniche del piano euclideo.Riduzione a forma canonica

dell’equazione di una conica.Classificazione delle quadriche e riduzione a forma canonica.Coni ,

cilindri e superficie di rotazione. (Vedi ad es. [2] Cap 5, [3])

Proprietà differenziali delle curve piane e delle curve sghembe

Arco regolare.Punto semplice.Retta tangente.Versore tangente.Ascissa curvilinea.

Contatto tra curve e tra curve e superfici.Piano osculatore.Normale principale e binormale.

Triedro principale.Curvatura e torsione.Formule di Frenet.Cerchio osculatore e sfera osculatrice.

(Vedi ad es. [2] Cap 8, [3] e [4] appunti delle lezioni )

Proprietà differenziali delle superfici

Porzione regolare di superficie.Piano tangente.Superfici rigate.

Prima forma quadratica fondamentale.Superfici isometriche e applicabili.

Seconda forma quadratica fondamentale.Curvatura delle linee tracciate su una superficie.

Curvature normali,curvatura Gaussiana e curvatura media in un punto di una superficie.

(Vedi ad es. [2] Cap 8)

Libri di Testo

[1]. P Maroscia. Geometria e Algebra Lineare. Zanichelli

[2]. S.Abeasis. Complementi di algebra lineare e geometria.Zanichelli.

[3]. S. Capparelli. Cenni su curve e superfici. (pdf)

[4]. S. Capparelli. Complementi su curve e superfici. (pdf)

Altri Testi di riferimento

[5]. A.Sanini. Lezioni di geometria.Editrice Levrotto e Bella.

[6]. S.Abeasis. Elementi di Algebra lineare e Geometria.Zanichelli.