Programma di Geometria (AA 11-12) (12 CFU)
Richiami su insiemi e
operazioni su insiemi. Prodotto cartesiano di due insiemi. Corrispondenze,
Relazioni. Funzioni o applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive,
biiettive.
Relazioni di equivalenza. Partizione
di un insieme. Congruenza modulo n. Definizione astratta di spazio vettoriale.
Otto assiomi dello spazio vettoriale.
Rn come spazio vettoriale. Combinazione lineare.
Sottospazio vettoriale di Rn. Sottospazio generato da alcuni vettori.
Dipendenza e indipendenza lineare. Basi
di un sottospazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio.
Espressione unica di un
vettore in termini di vettore di una base. Base canonica di Rn. Prodotto scalare
di Rn.
e sue proprietà. Matrici. Addizione di
matrici. Moltiplicazione per uno scalare. Insieme M(mxn, R ) come spazio vettoriale. Moltiplicazione riga per colonna di
matrici. Proprietà della moltiplicazione di matrici. Conseguenze della non
commutatività. Definizione di matrici idempotenti e nilpotenti. Matrici a blocchi. Interpretazione di un
sistema di equazioni lineari mediante moltiplicazione di matrici.
Moltiplicazione di una matrice A di ordine
mxn
per una B di ordine nx1 interpretata
come combinazione lineare delle colonne di A.
Trasposta di una
matrice. Definizione di matrice simmetrica. Metodi elementari di risoluzione di
sistemi di equazioni lineari. Definizione di determinante mediante i prodotti
competenti e le permutazioni. Casi particolari 2x2 e 3x3. Regola di Sarrus. Sviluppo secondo Laplace. Primo teorema di Laplace
(senza dim). Matrici diagonali. Triangolari
superiori, inferiori. Diagonale a blocchi.
Proprietà dei determinanti. Invertibilità di una matrice e
determinanti. Aggiunta di una matrice. Formula della matrice inversa. Soluzione
di un sistema mediante la regola di Cramer.
Operazioni elementari sulle equazioni di un sistema o sulle
righe di una matrice. Matrice completa. Forma a gradini di una matrice. Forma a
gradini ridotta. Pivot. Rango per pivot di una matrice. Metodo di eliminazione
di Gauss o di Gauss-Jordan per la risoluzione dei
sistemi lineari.
Minori di una matrice. Rango per minori di una matrice.
Estensione del metodo di Cramer alla soluzione di
sistemi lineari non necessariamente quadrati. Teorema degli orlati (senza dim). Teorema di Rouché-Capelli.
Algoritmo di inversione: calcolo dell’inversa di una matrice
mediante la riduzione di Gauss-Jordan. Sistemi
lineari omogenei (SLO). Autosoluzioni. Condizioni per
l’esistenza di autosoluzioni. L’insieme delle
soluzioni di un SLO come sottospazio vettoriale di Rn.
Confronto tra l’algoritmo di Gauss e l’uso del determinante.
Inversa di un prodotto di matrici invertibili.
Teorema sulle condizioni equivalenti di invertibilità di una
matrice. Matrici invertibili e matrici elementari.
Dimostrazione del teorema di Binet.
Dimostrazione della condizione di invertibilità legata al determinante.
Dimostrazione della regola di Cramer.
Introduzione alla diagonalizzazione
di matrici attraverso esempi. Definizione di autovalore,
autovettore, autospazio,
polinomio caratteristico, equazione caratteristica. Esempio nel caso di matrici
2x2. Applicazione alla successione di Fibonacci.
Esempi di diagonalizzazione di
matrici. Caso 3x3. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica. Polinomio caratteristico e sua relazione con
la traccia e il determinante di una matrice.
Legame tra il rango della matrice e la dimensione dell’autospazio.
Caso di matrici in cui la
molteplicità algebrica è diversa dalla molteplicità geometrica. Condizioni necessarie
e sufficienti per la diagonalizzazione. Diagonalizzazione di una matrice con autovalori
distinti. Teorema di Cayley-Hamilton (senza dim.) e
qualche sua conseguenza.
Spazio delle righe e spazio
delle colonne di una matrice. Rango per righe e rango per colonne. Equivalenza
dei differenti concetti di rango (senza dim.). Successioni di Fibonacci come
esempio di spazio vettoriale di dimensione 2 e sue conseguenze. Qualche
richiamo sui numeri complessi.
Spazio vettoriale V2.
Dipendenza e indipendenza lineare in V2. Interpretazione geometrica
dell’indipendenza. Coordinate di un vettore di V2 rispetto ad una
base. Base ortonormale e sistema cartesiano ortogonale di riferimento RC(O,i,j).
Identificazione di V2 con R2.
Prodotto scalare su V2 e su R2.
Condizione di parallelismo
tra due vettori del piano. Espressione della lunghezza di un vettore tramite il
prodotto scalare. Distanza tra due punti. Espressione dell’angolo compreso tra
due vettori mediante il prodotto scalare.
Area di un triangolo: formula del determinante. Condizione di
allineamento di tre punti. Equazione cartesiana di una retta. Equazione
parametrica di una retta. Relazione tra i parametri direttori e il coefficiente
angolare.
Componente ortogonale di un
vettore secondo una direzione. Proiezione ortogonale e coefficiente di Fourier.
Condizione di parallelismo tra due vettori del piano.
Parametri direttori. Coseni
direttori definizione e interpretazione geometrica. Condizione di parallelismo
e di perpendicolarità tra due rette. Formula della distanza punto-retta.
Definizione di applicazione
lineare tra due spazi vettoriali. Un’applicazione lineare è determinata dai
valori assunti su una base. Qualche esempio importante di operatore lineare
su V2 : rotazione e
proiezione ortogonale. Matrici che rappresentano l’operatore di rotazione e
l’operatore di proiezione ortogonale. Definizione di matrice ortogonale.
Formule per un cambiamento di
riferimento cartesiano ortogonale. Basi equiverse e contraverse.
Introduzione alle sezioni
coniche. Definizione di ellisse, iperbole e parabola come luoghi geometrici.
Forma canonica dell’equazione dell’ellisse, dell’iperbole, della parabola.
Eccentricità.
Coniche degeneri e non
degeneri. Riconoscimento di una conica tramite cambiamento di riferimento. Invarianti.
Spazio vettoriale V3
e identificazione con R3 tramite una base ordinata. Base
ortonormale.
Tre vettori di V3
sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari. Basi equiverse e contraverse. Prodotto
vettoriale. Condizione di complanarità di quattro punti ed equazione cartesiana
di un piano.
Proprietà del prodotto
vettoriale. Significato geometrico del modulo del prodotto vettoriale.
Distanza tra due rette
parallele. Equazioni parametriche di una retta nello spazio. Equazioni cartesiane
di una retta. Volume di un parallelepipedo. Significato geometrico dei
parametri di giacitura di un piano. Condizioni di parallelismo e di
perpendicolarità tra due piani. Fascio proprio e fascio improprio di piani.
Formule per i parametri direttori
di una retta a partire dalle equazioni cartesiane. Condizioni di parallelismo e
di perpendicolarità retta-piano. Mutue posizioni di due rette nello spazio.
Condizione analitica di complanarità tra due rette. Distanza tra due rette
parallele. Distanza punto-piano. Sfera.
Concetto di gruppo e di
anello mediante esempi. Gruppi finiti e infiniti. Gruppo diedrale.
Gruppo delle permutazioni. Gruppo delle classi resto modulo n. Gruppi di
matrici. Anelli Z e Zn
Campi. Esempi di campi finiti.
Gruppo dei quaternioni. Concetto di congruenza e criteri di divisibilità.
Concetto generale di spazio
vettoriale su un campo qualsiasi. Esempi: polinomi in una variabile, matrici,
funzioni continue, codici lineari.
Quattro spazi importanti
legati ad una matrice A: lo spazio delle righe, lo spazio delle colonne,
l’annullatore e l’immagine.
Relazione con i relativi
spazi della forma a scala per righe di A. Teorema del Rango: la dimensione
dello spazio delle colonne di A è uguale alla dimensione dello spazio delle
righe di A. Determinazione di una base di C(A), R(A), null(A),
im(A). Dimostrazione che im(A)=C(A).
Dimensione di uno spazio
vettoriale. Teorema fondamentale. Teorema di Invarianza. Lemma di Indipendenza.
Teorema di esistenza delle basi.
Trasformazioni lineari tra
due spazi vettoriali qualunque. Esempi. Endomorfismi o Operatori. Proprietà
delle trasformazioni lineari. Estensione di una applicazione per linearità.
Equazioni di una trasformazione lineare da Rn a Rm . Nucleo e immagine di una
trasformazione lineare. Relazione con l’annullatore e l’immagine di una
matrice. Una trasformazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è
nullo.
Trasformazione lineare
indotta da una matrice e matrice che rappresenta una trasformazione lineare.
Esempi.
Una generalizzazione del
teorema di Rouché-Capelli: il teorema delle
dimensioni. (Dimostrazione facoltativa, vedi ad esempio [2], Teorema
5.3.23.) Isomorfismo. Isomorfismo legato
ad una base ordinata. Ogni spazio vettoriale di dimensione finita è isomorfo
ad Rn .
Matrice di una trasformazione
lineare. Esempi. Matrice
dell’applicazione identica. Definizione di matrici simili e dimostrazione di
alcune loro proprietà.
Relazione di similitudine tra
due matrici che rappresentano lo stesso operatore. Relazione tra la matrice di un operatore e
dell’operatore inverso. Matrice della composizione di due operatori.
Definizione di spazio
vettoriale euclideo. Prodotto scalare astratto. Esempi.
Esempi di forme bilineari
simmetriche e definite positive o non degeneri su R2 ottenute
tramite matrici quadrate simmetriche e definite positive o invertibili. Un insieme ortogonale di vettori non nulli è
necessariamente indipendente. Definizione di base ortogonale e base
ortonormale. Espressione di un vettore in una base ortogonale tramite i
coefficienti di Fourier. Esistenza di una base ortogonale: procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Dimostrazione della
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza
Triangolare. Definizione di distanza in uno spazio euclideo. Formula dello
sviluppo di Fourier per la proiezione ortogonale su un sottospazio.
Complemento ortogonale di un
sottospazio vettoriale. Il complemento ortogonale dello spazio delle colonne di
una matrice A è l’annullatore di AT. Teorema di approssimazione.
Applicazione del teorema di approssimazione allo studio di soluzioni
approssimate di un sistema incompatibile.
Autovettori relativi ad autovalori
distinti sono linearmente indipendenti. Definizione di matrice ortogonalmente diagonalizzabile. Proprietà delle matrici simmetriche.
Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Condizioni necessarie e
sufficienti affinché una matrice sia ortogonale. Teorema degli Assi Principali
con dimostrazione. Applicazione alla diagonalizzazione delle forme quadratiche. Riconoscimento
di una conica a partire dagli autovalori della
relativa forma quadratica. Forma quadratica definita positiva. Matrice definita
positiva. Criterio dei minori principali (senza dimostrazione).
Bibliografia