e quindi
.
Mediante il cambiamento di variabile
si ottiene la relazione
ove con << >> si è indicata la dualità in due variabili. La relazione (*) suggerisce quindi la seguente definizione di convoluzione per due distribuzioni
Notiamo che nelle due variabili
la funzione
non ha supporto
limitato; infatti posto supp
,
nel piano
supp
è nella striscia
rappresentata nella figura:
Poiché la distribuzione in due variabili
è - a priori - solo sulle funzioni test in due variabili,
occorrono delle ipotesi su T ed S in modo che, di fatto, intervenga
nella dualità solo una parte limitata del supporto di
.
I due casi principali che si considerano sono:
Infatti in tal caso:
implicano, di fatto, nel
triangolo di vertici (0,0), (0,b), (b,0) del I quadrante (supposto
b > 0).
Per ogni distribuzione T è possibile considerare la convoluzione
con la di Dirac
e si ha
ossia
.
La si comporta come l'unità
del prodotto di convoluzione. Non è invece possibile, ad
esempio, considerare la convoluzione
. Infatti essendo supp
1 = R, segue che
ha supporto su tutto il piano.