PROGRAMMA DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA

Proff. Lorenzo Giacomelli e Christian Casalvieri

A.A. 2012/2013

C.d.L. Ingegneria Gestionale - canale A-L

Per informazioni complete e aggiornate sul corso si veda http://www.dmmm.uniroma1.it/~giacomelli/

I punti del programma si intendono comprensivi di definizioni, enunciati, esempi, contresempi e applicazioni. Le parti sottolineate sono state dimostrate.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi Matematica, seconda edizione. McGraw-Hill 2011. 

Elementi di base.
Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi, razionali. Operazioni, ordinamento, densita'. La "radice di 2" non e' un numero razionale. Numeri reali (R nel seguito): operazioni, ordinamento, densita'. Intervalli. Valore assoluto, segno, parte intera, parte positiva, parte negativa. Disuguaglianza triangolare. Maggiorante (minorante), massimo (minimo), estremo superiore (inferiore). Completezza di R. Radicali, potenze, esponenziali, logaritmi, grandezze trigonometriche. Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Funzione: dominio, codominio, immagine, grafico. Restrizioni. Proiezioni. Relazioni fra grafico e dominio e immagine. Funzioni iniettive, suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa. Successioni. Sommatorie. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli.

Numeri complessi.
Numeri complessi. Rappresentazione cartesiana. Parte reale. Parte immaginaria. Operazioni. Modulo. Coniugio. Rappresentazione trigonometrica. Potenze n-esime di numeri complessi. Rappresentazione esponenziale. Radici n-esime complesse. Teorema fondamentale dell'algebra. Equazioni in campo complesso.

Funzioni di una variabile reale a valori reali. 
Funzione pari, funzione dispari. Funzione monotona. Funzione periodica, periodo. Funzioni segno, parte intera, valore assoluto, potenza, esponenziale, logaritmo, parte positiva, parte negativa, trigonometriche e trigonometriche inverse; loro grafici qualitativi. Funzioni composte. Composizione di funzioni monotone. Monotonia di funzioni composte.Funzione somma, funzione prodotto e loro proprieta` di monotonia.  Grafici qualitativi di funzioni composte: traslazioni, riscalamenti, riflessioni, composizioni con il valore assoluto. Prima relazione fra invertibilita` e monotonia. Funzioni superiormente (inferiormente) limitate, funzioni limitate. Estremo superiore (inferiore), massimo (minimo) assoluto, massimo (minimo) locale di una funzione. Caratterizzazione dell'estremo superiore (inferiore) di una funzione. Punti di massimo (minimo) assoluto (locale). Utilizzo del grafico qualitativo per la determinazione di estremo superiore (inferiore) e massimi (minimi) locali e assoluti. 

Limiti.
Elementi di topologia in R: distanza, intorni, R*, punti di accumulazione. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Il concetto di limite di funzioni reali di una variabile reale: definizione, unicita'. Limiti destro, sinistro, per eccesso, per difetto. Proprieta' elementari: permanenza del segno, confronto, operazioni. Aritmetica parziale di R*. Limite di funzione monotona. Limiti di funzioni potenza, razionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Limite di funzione composta. Forme indeterminate. Funzioni infinitesime, funzioni infinite. Il simbolo di Landau "o(1)" (o piccolo di 1). Algebra di "o(1)". Limiti notevoli di funzioni trigonometriche e trigonomentriche inverse. Gerarchie di infiniti. Confronto tra funzioni infinite e tra funzioni infinitesime. Limiti di successioni: proprieta', sottosuccessioni, non esistenza di limiti, gerarchie di infiniti per successioni. Sucessioni ricorsive. Il numero e. Altri limiti notevoli. Funzioni iperboliche e iperboliche inverse; loro grafici qualitativi. Il simbolo di Landau "o piccolo". Algebra degli "o piccolo". Asintoto orizzontale, verticale, obliquo. Teorema "ponte" e non esistenza di limiti. 

Continuità delle funzioni reali di una variabile reale.
Definizione di funzione continua. Continuità delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e iperboliche). Punti di discontinuita'. Proprieta' elementari. Teorema degli zeri.. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Risoluzione di (dis)equazioni con metodo grafico. Teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
Migliore approssimazione lineare di una funzione in un punto. Retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivata. Derivata destra (sinistra). Punto angoloso. Cuspide. Derivate di funzioni elementari. Proprietà elementari. Derivata di funzione composta. Calcolo delle derivate. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Relazioni tra derivata prima e monotonia.  Teorema di Cauchy.  Teorema di de l'Hopital. Funzioni concave e convesse. Derivate di ordine superiore. Relazioni tra derivata seconda e convessita'. Studio del grafico di una funzione reale di una variabile reale. Risoluzione di equazioni e disequazioni mediante il metodo grafico. Determinazioni di (punti di) massimo e minimo locale o assoluto, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione. Polinomi di Taylor e di McLaurin. Teorema di Peano. Formula del resto secondo Lagrange. Stima dell'errore di approssimazione di funzioni con polinomi di Taylor.

Teoria dell'integrazione per funzioni reali di una variabile reale.
Integrale (di Riemann) e integrabilita' (secondo Riemann). Alcune classi di funzioni integrabili. Proprietà elementari. Teorema della media. Funzione integrale.  Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione primitiva. Integrale indefinito. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali . Alcune sostituzioni particolari. Integrali definiti di funzioni definite a tratti. Integrali impropri: definizione, calcolo diretto per alcuni campioni, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, funzioni assolutamente integrabili, criterio di assoluta integrabitlita'.

Serie numeriche. .
Progressione geometrica. Definizione di serie. Carattere (convergente, divergente, irregolare) di una serie. Carattere di serie geometriche, serie di Mengoli, serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Linearita'. Coda ed errore. Serie a termini positivi: carattere (convergente o divergente). Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio integrale. Carattere della serie armonica generalizzata. Studio del carattere di serie numeriche mediante applicazioni del teorema di Peano. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Convergenza assoluta. Serie a segno alterno. Criterio di Leibnitz. Serie di Taylor.

Equazioni differenziali. 
Equazioni differenziali ordinarie. Classificazioni: ordine, forma implicita o esplicita, omogeneita', linearita', coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni dell'equazione completa, metodo della variazione delle costanti. Problema di Cauchy: esistenza e unicita' della soluzione, intervallo massimale di esistenza. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale, metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza, problema di Cauchy. Riduzione dell'ordine di una EDO.

Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili.
Funzioni da R^N in R^M: dominio naturale. Funzioni da R^N in R: insiemi di livello. Curve. Cenni di topologia in R^2: distanza euclidea, intorni (sferici), insiemi aperti, chiusi, punti di frontiera, punti di accumulazione, coordinate polari. Funzioni da R^2 in R. Limiti e continuità: proprieta' elementari, condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite, teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali. Gradiente. Differenziabilita' e piano tangente. Proprietà delle funzioni differenziabili. Teorema del differenziale totale. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Derivate di ordine superiore e teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni). Massimo e minimo assoluto di una funzione su un dominio chiuso e limitato.

Teoria dell'integrazione per funzioni reali di piu' variabili reali.
Domini normali e domini ammissibili (ovvero, scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Matrice Jacobiana. Cambiamenti di variabile negli integrali doppi.