Analisi I - Programma

LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA

Proff. Lorenzo Giacomelli e Christian Casalvieri

a.a. 2011/2012

C.d.L. Ingegneria Gestionale - Canale A-L

In ciascuna settimana, la prima e la quarta lezione sono di 3 ore accademiche, la seconda e la terza di 2 ore accademiche.
I punti del programma si intendono comprensivi di definizioni, enunciati, esempi, contresempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testo consigliato: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi Matematica, seconda edizione. McGraw-Hill, 2011.

IL CALENDARIO VIENE AGGIORNATO DURANTE IL CORSO

26.09 Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi, razionali: operazioni, ordinamento, densita'. La "radice di 2" non e' un numero razionale. Numeri reali: operazioni, ordinamento, densita'. Intervalli. Maggiorante (minorante), massimo (minimo), estremo superiore (inferiore). Completezza dei numeri reali.
27.09 Radicali, potenze, esponenziali, logaritmi. Valore assoluto.Grandezze trigonometriche.
28.09 Funzione: dominio, codominio, immagine, grafico. Funzioni reali di una variabile reale. Relazioni tra grafico, dominio e immagine. Funzione monotona. Funzioni potenza e loro grafici qualitativi.
29.09 Funzione pari, funzione dispari. Funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche e loro grafici qualitativi. Funzione periodica, periodo. Funzioni trigonometriche e loro grafici qualitativi. Funzioni parte intera, parte decimale, parte positiva, parte negativa e loro grafici qualitativi.

03.10 Funzione (superiormente, inferiormente) limitata. Massimo e minimo (globale o assoluto), estremo superiore e inferiore di una funzione (nel dominio naturale o in suo sottoinsieme); utilizzo del grafico qualitativo per la loro determinazione. Funzione valore assoluto. Funzioni iniettive, suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa. Prima relazione fra invertibilita` e monotonia. Funzioni composte. Relazione tra composizione e monotonia. Funzione somma, funzione prodotto e loro proprieta` di monotonia.
04/06.10 (CC) Numeri complessi. Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi: parte reale, parte immaginaria, operazioni, modulo, coniugio. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi. Prodotto, potenze n-esime. Rappresentazione esponenziale. Radici n-esime. Teorema fondamentale dell'algebra.

10.10 Grafici qualitativi di funzioni composte: traslazioni, riscalamenti, riflessioni. Grafico qualitativo del valore assoluto di una funzione. Distanza euclidea in R. Intorni. Massimo (minimo) locale. Punti di massimo (minimo) locale o relativo.
11.10 Successioni. R*, intorni di +infinito e -infinito. Punti di accumulazione. Il concetto di limite. Definizione di limite di funzioni reali di una variabile reale.
12.10 Unicita` del limite. Limite destro (sinistro). Permanenza del segno. Operazioni. Aritmetica parziale di R*.
13.10 Limite di funzione monotona. Limiti di funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Limite di funzione composta.

17.10 Il simbolo di Landau "o(1)" (o piccolo di 1). Algebra di "o(1)". Confronto. Limiti notevoli di funzioni trigonometriche e trigonomentriche inverse.
18.10 Sommatorie. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli. Gerarchie di infiniti. Confronto tra funzioni infinite e tra funzioni infinitesime.
19.10 Limiti di successioni. Il numero e. Altri limiti notevoli.
20.10 Funzioni iperboliche e iperboliche inverse. Asintoto orizzontale, verticale, obliquo. Teorema ponte e non esistenza di limiti. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.

24.10 Il simbolo "o(g)" (o piccolo di g). Algebra di "o(g)". Continuita`. Continuita` delle funzioni elementari. Proprieta` elementari. Punti di discontinuita`. Teorema degli zeri.
25.10 Risoluzione di (dis)equazioni mediante il metodo grafico. Caratterizzazione dell'estremo superiore (inferiore) di una funzione. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Rapporto incrementale. Migliore approssimazione lineare e retta tangente. Derivabilita' e derivata. Derivate di funzioni elementari.
26.10 Derivata destra, sinistra, punto a tangente verticale, punto angoloso, cuspide. Proprieta' elementari. Derivata di funzione composta. Derivata di funzione inversa.
27.10 Teorema di Fermat. Estremi locali e derivata prima. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Relazioni tra derivata prima e monotonia. Determinazione di estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimi e minimi locali o assoluti. Studio del grafico di una funzione reale di una variabile reale nell'ipotesi di "minimo numero di flessi".

02.11 Derivate di ordine superiore. Funzioni convesse e concave. Relazioni fra derivata seconda e convessita'. Teorema di Cauchy. Teorema di de l'Hopital.
03.11 Polinomi di Taylor e di McLaurin. Teorema di Peano. Applicazioni del teorema di Peano al calcolo dei limiti.

07.11 Applicazioni del Teorema di Peano: natura dei punti critici, ordini di infinito e infinitesimo. Progressione geometrica. Serie numeriche. Calcolo diretto di alcune somme: serie geometriche, serie di Mengoli, serie telescopiche.
08.11 Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Linearita'. Coda. Serie armonica. Serie a termini positivi: carattere. Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico.
09.11 Serie armonica generalizzata. Criterio del rapporto, criterio della radice. Studio del carattere di serie numeriche mediante applicazioni del teorema di Peano. Convergenza assoluta.
10.11 Serie a segno alterno e criterio di Leibnitz. Formula del resto di Lagrange. Stima dell'errore. Serie di Taylor

14-21.11 (CC) Integrale (di Riemann) e integrabilita' (secondo Riemann). Alcune classi di funzioni integrabili. Proprieta' elementari. Teorema della media. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione primitiva. Integrali definiti di funzioni definite a tratti. Integrale indefinito. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Alcune sostituzioni particolari. Integrali impropri: calcolo diretto per alcuni campioni, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Integrali impropri: funzioni assolutamente integrabili in senso improprio, criterio di assoluta integrabilita'. Criterio integrale per le serie numeriche e giustificazione del carattere delle serie armoniche generalizzate. Serie di Abel..

22.11 Funzioni da R^N in R^M. Funzioni da R^N in R. Insiemi di livello. Dominio naturale. Curve. Campi vettoriali. Distanza in R^N, intorni (sferici). Punti di massimo e minimo locale per funzioni di piu' variabili. Punti di accumulazione, punti interni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, frontiera.
23.11 Definizione di limite e di continuita', proprieta' elementari, non esistenza di limiti, teorema di Weierstrass.
24.11 Prodotto scalare. Derivate direzionali. Derivate parziali. Gradiente. Piano tangente.

28.11 Differenziabilita'. Proprieta' elementari. Teorema del differenziale. Derivate direzionali di funzioni differenziabili. Punti stazionari. Teorema di Fermat e conseguenze. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz.
29.11 Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Natura dei punti stazionari interni.
30.11 Natura dei punti stazionari interni. Insiemi convessi. Funzioni convesse. Relazione tra convessità e matrice hessiana. Massimo e minimo assoluto di funzioni continue su insiemi compatti.
01.12 Massimo e minimo assoluto di funzioni continue su insiemi compatti. Integrali doppi su rettangoli: definizione, proprieta', formule di riduzione.

05.12 Integrali doppi: il caso generale. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Integrabilita' di funzioni continue su insiemi misurabili. Domini normali. Formule di riduzione.
06.12 Domini normali. Formule di riduzione. Matrice jacobiana. Cambiamento di variabili negli integrali doppi.
07.12 Matrice jacobiana. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali).

12-15.12 (CC) Equazioni differenziali ordinarie: definizione, classificazione (ordine, linearita', omogeneita', forma implicita o esplicita, coefficienti). Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari. Metodo della variazione della costante, metodo di somiglianza. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Problema di Cauchy, teorema di Cauchy, intervallo massimale di esistenza di una soluzione. Riduzione dell'ordine di una ODE. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine lineari a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea, metodo di somiglianza, metodo della variazione delle costanti.

19-21.12 Esercizi di riepilogo.