PROGRAMMA PROVVISORIO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA
Prof. Lorenzo Giacomelli
a.a. 2009/2010
C.d.L. Ingegneria Gestionale (A-L)
28.09 Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi,
razionali: operazioni, ordinamento, densita'.
La
"radice di 2" non e' un numero razionale. Numeri reali: operazioni,
ordinamento, densita'. Maggiorante (minorante), massimo (minimo),
estremo superiore (inferiore). Completezza dei numeri reali.
29.09 Radicali,
potenze, esponenziali, logaritmi, grandezze trigonometriche. Valore
assoluto.
Disuguaglianza
triangolare.
30.09 Funzione: dominio,
codominio, immagine, grafico. Funzioni reali di una
variabile reale. Funzione pari, funzione dispari. Funzione monotona.
01.10 Funzioni potenza,
esponenziali, logaritmiche e loro grafici qualitativi. Funzione
periodica, periodo. Funzioni trigonometriche e loro grafici
qualitativi. Estremo superiore (inferiore) di una funzione. Utilizzo
del grafico
qualitativo di una funzione per la determinazione dei suoi estremi
superiore e inferiore.
05.10 Funzioni composte.
Funzioni iniettive,
suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa. Funzioni
trigonometriche inverse e loro grafici qualitativi. Grafici qualitativi
di funzioni composte: traslazioni, riscalamenti, riflessioni.
06.10 Funzioni valore assoluto,
parte positiva, parte negativa e loro grafici qualitativi. Grafici
qualitativi di funzioni composte con il valore assoluto. Massimo
(minimo) assoluto. Distanza euclidea in R. Intorni. Massimo (minimo)
locale. Punti di massimo (minimo) locale e assoluto.
07.10 Utilizzo del grafico
qualitativo per la determinazione di
massimi (minimi) locali e assoluti. R*, intorni di +infinito e
-infinito. Punti di accumulazione. La funzione parte intera.
Successioni.
08.10 Il concetto di limite.
Definizione di limite di funzioni
reali di una variabile reale.
Unicita'
del
limite.
Proprieta'
elementari:
permanenza del segno,
operazioni. Limiti di funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche,
trigonometriche.
12.10 Confronto. Limite destro (sinistro). Limite per eccesso
(per difetto).
Aritmetizzazione
parziale
di
R*. Limite di funzione composta. Principio di
induzione.
Disuguaglianza di
Bernoulli.
13.10 Limite di funzione
monotona.
Il simbolo di Landau
"o(1)" (o piccolo di 1).
Algebra
di
"o(1)".
Limiti
notevoli
di
funzioni
trigonometriche e trigonomentriche inverse.
14.10 Gerarchie
di infiniti e infinitesimi. Il numero e.
15.10 Altri limiti notevoli.
Funzioni iperboliche e iperboliche inverse. Asintoto orizzontale,
verticale.
19.10 Asintoti
obliqui. Teorema ponte e non esistenza di limiti. Continuita' .
Continuita' di funzioni elementari (potenze,
esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche).
Proprieta' elementari.
Teorema degli zeri.
20.10/1 Risoluzione di
(dis)equazioni mediante il metodo grafico. Teorema
dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.
Punti
di discontinuita'.
20.10/2 Infinitesimi,
infiniti e confronti. Ordine di infinitesimo e di infinito. Il simbolo
"o" (o piccolo).
Algebra degli
"o".
21.10
Rapporto incrementale. Migliore approssimazione
lineare e retta tangente. Derivabilita' e derivata. Derivata destra,
sinistra, punto a tangente verticale, punto angoloso, cuspide.
Derivate di funzioni elementari.
Proprieta' elementari.
26.10 Derivata
di funzione composta. Derivata di funzione inversa.
Teorema di
Fermat. Estremi locali e derivata prima.
Teorema di
Rolle. Teorema di Lagrange. Relazioni tra derivata prima e
monotonia.
27.10 Determinazione di
estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimi e minimi
locali o assoluti. Studio del grafico di una funzione reale di una
variabile reale nell'ipotesi di "minimo numero di flessi".
28.10 Teorema di
Cauchy. Teorema di de
l'Hopital. Derivate di ordine
superiore. Sommatorie. Polinomi di Taylor e di
McLaurin.
29.10 Teorema di Peano. Applicazioni del teorema
di Peano: calcolo di limiti, ordini di infinito e infinitesimo.
02.11 Il
simbolo
"~" (asintotico a). Funzioni convesse e
concave. Relazioni fra derivata
seconda e convessita'. Studio del grafico di una funzione reale di una
variabile reale.
Numeri complessi.
Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi: parte
reale, parte immaginaria, operazioni, modulo, coniugio
.
03.11 Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi:
prodotto, potenze n-esime.
Rappresentazione esponenziale. Radici n-esime. Teorema
fondamentale dell'algebra.
04.11 Integrale (di Riemann) e integrabilita' (secondo Riemann).
Alcune classi di funzioni integrabili. Proprieta' elementari.
Teorema della media.
Funzione integrale.
05.11 Teorema
fondamentale del
calcolo integrale. Funzione primitiva. Integrale indefinito.
Integrazione per parti.
Integrazione per
sostituzione.
09.11 Integrazione di funzioni
razionali. Alcune sostituzioni
particolari.
10.11 Alcune sostituzioni
particolari. Integrali definiti di funzioni definite a tratti.
11.11 Integrali impropri:
calcolo diretto per alcuni campioni,
criterio
del
confronto,
criterio
del
confronto
asintotico.
12.11 Integrali impropri:
funzioni
assolutamente integrabili in senso improprio, criterio di assoluta
integrabilita'.
16.11 Successioni: richiami. Sottosuccessioni. Successioni
ricorsive.
Successione di
Fibonacci. Sezione aurea. Metodo di Newton.
17.11 Progressione
geometrica. Serie numeriche. Calcolo diretto di alcune somme:
serie geometriche, serie di
Mengoli, serie telescopiche.
Condizione necessaria.
Linearita'. Coda. Serie armonica.
18.11 Serie a termini positivi:
carattere, criterio
del confronto, criterio del confronto asintotico. Studio del carattere
di serie numeriche mediante applicazioni del teorema
di Peano.
19.11. Criterio integrale.
Serie armonica generalizzata.
Criterio
del
rapporto, criterio della radice.
23.11 Convergenza
assoluta. Serie a
segno alterno e criterio di
Leibnitz.
Serie di Taylor.
Formula del resto secondo Lagrange. Stima dell'errore di
approssimazione di funzioni con polinomi di Taylor.
24.11 Funzioni da R^N
in R^M. Curve. Insiemi di livello. Dominio
naturale. Distanza in R^2, intorni (sferici). Punti di massimo e minimo
locale per funzioni di due
variabili. Coordinate polari.
25.11 Punti di accumulazione,
punti interni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi,
frontiera. Funzioni da R^2 in R Definizione di limite e di
continuita', proprieta' elementari, non
esistenza di limiti, teorema di Weierstrass, derivate parziali.
26.11 Prodotto scalare.
Gradiente. Derivate direzionali. Piano tangente.
Differenziabilita'. Proprieta'
elementari. Teorema del differenziale. Derivate direzionali di funzioni
differenziabili. Punti stazionari. Teorema di Fermat e conseguenze.
30.11 Derivate di ordine
superiore. Teorema di Schwarz. Matrice
Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Natura dei punti
stazionari interni.
01.12 Massimo e minimo
assoluto su domini chiusi e limitati.
02.12 Integrali doppi su rettangoli: definizione, proprieta',
formule di riduzione. Integrali doppi: il caso generale. Insiemi
misurabili secondo Peano-Jordan. Integrabilita' di funzioni continue su
insiemi misurabili. Domini normali
. Formule
di
riduzione.
03.12 Domini normali
. Formule
di
riduzione.
Matrice
jacobiana.
Cambiamento
di variabili negli integrali doppi
.
09.12 Matrice
jacobiana. Cambiamento di variabili negli integrali doppi
. Domini ammissibili (ovvero
scomponibili in domini normali).
10.12/1 Equazioni differenziali ordinarie: definizione,
classificazione (ordine, linearita', omogeneita', forma implicita o
esplicita, coefficienti). Equazioni differenziali ordinarie del primo
ordine
lineari.
10.12/2 Metodo della variazione della costante, metodo di
somiglianza.
11.12 Equazioni differenziali del primo ordine a variabili
separabili. Problema di Cauchy, teorema di Cauchy, intervallo massimale
di esistenza di una soluzione. Riduzione dell'ordine di una ODE.
14.12 Equazioni differenziali ordinarie del secondo
ordine
lineari a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea,
metodo di somiglianza,
metodo della variazione delle costanti.
15.12(3) Equazioni di
Eulero. Curve cartesiane. Curve regolari. Versore tangente e versore
normale a
una curva
regolare. Regola della catena per funzioni composte con curve.
16.12 Cenno
agli integrali curvilinei di I specie.
17.12
In ciascuna settimana, la prima e la quarta lezione sono di 3 ore
accademiche, la seconda e la terza di 2 ore accademiche.
I punti del programma si intendono comprensivi di
definizioni, enunciati, esempi, contresempi, applicazioni e, per le
parti
sottolineate, dimostrazioni.
Testo consigliato: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi
Matematica. McGraw-Hill 2007.
Idea del calendario basata sull'anno precedente (ma gli argomenti
trattati vengono via via espunti).
Continuita' della funzione inversa.
Condizione necessaria e sufficiente per
l'esistenza del limite per funzioni di due variabili.