PROGRAMMA PROVVISORIO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA

Prof. Lorenzo Giacomelli

a.a. 2008/2009

C.d.L. Ingegneria Gestionale (A-L)

Elementi di base.
Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi, razionali. Operazioni, ordinamento, densita'. Non esistenza della radice di 2. Numeri reali.  Intervalli. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. Maggiorante (minorante), massimo (minimo), estremo superiore (inferiore).
Completezza di R. Radicali, potenze, esponenziali, logaritmi. Equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche.
Funzione: dominio, codominio, immagine, grafico.
Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli.

Funzioni reali di una variabile reale. 
 Funzione pari, funzione dispari. Funzioni monotone. Segno, parte intera. Funzioni valore assoluto, potenza, esponenziale, logaritmo, parte positiva, parte negativa, trigonometriche, trigonometriche inverse e loro grafici qualitativi. Funzioni composte. Grafici qualitativi di funzioni composte. Funzioni superiormente (inferiormente) limitate, funzioni limitate. Estremo superiore (inferiore), massimo (minimo) assoluto, massimo (minimo) locale. Punti di massimo (minimo) assoluto (locale). Utilizzo del grafico qualitativo per la determinazione di estremo superiore (inferiore) e massimi (minimi) locali e assoluti. Funzioni iniettive, suriettive. Funzioni invertibili, funzione inversa. Successioni.

Limiti.
Elementi di topologia in R: distanza, intorni, R*, punti di accumulazione. Il concetto di limite di funzioni reali di una variabile reale: definizione, unicita'. Limite destro, sinistro. Proprieta' elementari: permanenza del segno, confronto, operazioni. Aritmetizzazione parziale di R*. Limite di funzione monotona. Limiti di funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche. Limite di funzione composta. Forme indeterminate. Gerarchie di infiniti. Limiti notevoli di funzioni trigonometriche e trigonomentriche inverse. Limiti di successioni: proprieta', sottosuccessioni, gerarchie di infiniti. Sucessioni ricorsive. Il numero e. Altri limiti notevoli.  Infinitesimi, infiniti e confronti. Ordine di infinitesimo e di infinito. I simboli "o piccolo" e "asintotico a". Algebra degli "o-piccolo". Asintoti. Teorema "ponte" e non esistenza di limiti. 
  

Serie numeriche. .
Definizione di serie. Carattere delle serie geometriche. Serie di Mengoli. Condizione necessaria. Serie a termini positivi: carattere convergente o divergente a + infinito, criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice. Convergenza assoluta. Serie a segno alterno e criterio di Leibnitz.

Numeri complessi.

Numeri complessi: rappresentazione cartesiana, parte reale, parte immaginaria, operazioni, modulo, coniugio, rappresentazione trigonometrica, potenze di numeri complessi, rappresentazione esponenziale, radici ennesime complesse, teorema fondamentale dell'algebra, equazioni in campo complesso.

Continuità delle funzioni reali di una variabile reale.
Definizione di funzione continua. Continuità delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche). Punti di discontinuita'. Proprieta' elementari. Teorema degli zeri. Continuita' della funzione inversa. Teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
Retta tangente. Migliore approssimazione lineare. Derivata. Derivata destra, sinistra, punto angoloso, cuspide. Derivate di funzioni elementari. Proprietà elementari. Derivata di funzione composta. Calcolo delle derivate. Estremi locali. Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Relazioni tra derivata prima e monotonia.  Teorema di Cauchy.  Teorema di de l'Hopital. Funzioni concave e convesse. Derivate di ordine superiore. Relazioni tra derivata seconda e convessita'. Studio del grafico di una funzione reale di una variabile reale. Risoluzione di equazioni e disequazioni mediante il metodo grafico. Polinomi di Taylor e di McLaurin. Teorema di Peano.

Teoria dell'integrazione per funzioni reali di una variabile reale.
Definizione dell'integrale di Riemann e sue proprietà elementari. Funzione integrale.  Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione primitiva.I ntegrale indefinito. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali . Alcune sostituzioni particolari. Integrali impropri: definizione, criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, funzioni assolutamente integrabili, criterio di assoluta integrabitlita'. Relazione tra serie numeriche e integrali impropri.

Equazioni differenziali. 
Equazioni differenziali ordinarie. Classificazioni: ordine, omogeneita', linearita', coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni dell'equazione completa, metodo della variazione delle costanti. Problema di Cauchy, esistenza e unicita' della soluzione, intervallo massimale di esistenza. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale, metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza, problema di Cauchy. Riduzione dell'ordine di una EDO.

Curve nel piano.
Definizione di curva parametrizzata. Sostegno di una curva.

Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili.
Funzioni da R^N in R^M: dominio naturale. Funzioni da R^N in R: insiemi di livello.
Cenni di topologia in R^2: distanza euclidea, intorni (sferici), insiemi aperti, chiusi, punti di frontiera, punti di accumulazione, coordinate polari.
Funzioni da R^2 in R. Limiti e continuità: proprieta' elementari, condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite, teorema di Weierstrass. Derivate direzionali, derivate parziali, gradiente, differenziabilità e piano tangente. Proprietà delle funzioni differenziabili e teorema del differenziale totale. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Derivate di ordine superiore e teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero natura dei punti stazionari interni). Massimo e minimo assoluto di una funzione su un dominio chiuso e limitato.

Teoria dell'integrazione per funzioni reali di piu' variabili reali.
Domini normali e domini ammissibili (scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Matrice Jacobiana, cambiamenti di variabile negli integrali doppi.


I punti del programma si intendono comprensivi, ove rilevante, di definizioni, enunciati, esempi, contresempi e applicazioni.

Le parti sottolineate sono state dimostrate.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi Matematica. McGraw-Hill 2007.