CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA

 PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II  ( I° MODULO)

LORENZO GIACOMELLI E GIORGIO VERGARA CAFFARELLI 

A.A.  2008-2009

 
23.09 (G) Cenni sullo spazio vettoriale  R^2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Elementi di topologia di R^2. Funzioni in R^2. Limiti e continuità.
25.09  (G) Derivate parziali. Derivate direzionali. Gradiente. Piano tangente. Differenziabilita'. Teorema del differenziale. Calcolo delle derivate direzionali. Derivate successive. Matrice hessiana.
30.09 (G) Teorema di Schwarz. Curve. Regolarita' di curve. Composizione di una funzione con una curva. Formula di Taylor del secondo ordine.  Matrici definite positive (negative), indefinite. Punti stazionari e loro natura.
02.10  (G) Massimi e minimi relativi: condizioni necessarie e sufficienti. Teorema di Weierstrass.
07.10 (G) Ricerca di massimi e minimi assoluti di funzioni continue su insiemi compatti. Il Teorema delle funzioni implicite (o di Dini) per funzioni di due variabili. Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
09.10 (G) Applicazioni del Teorema delle funzioni implicite (o di Dini). Applicazioni del Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
14.10 (V) Curve nel piano. Lunghezza di una curva.
16.10 (V) Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione.
21.10 (V) Forme differenziali. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse.
23.10 (V)  Relazione tra forme chiuse e forme esatte. Indipendenza dal cammino di integrazione per forme differenziali esatte. Forme chiuse in aperti stellati del piano.
28.10 (V) Integrali doppi e tripli su domini normali. Formule di riduzione per integrali doppi.
30.10 (V) Volume di solidi di rotazione. Formule di Gauss-Green.
04.11 (V)  Teorema della divergenza. Formula di Stokes.
06.11 (G) Corollari: formule di integrazione per parti, calcolo di aree. Cambiamento di variabili negli integrali doppi.

11.11 (G)  Integrali tripli.Cambiamento di variabili negli integrali tripli.

13.11 (G) Superfici regolari parametrizzate. Piano tangente, versore normale. Area di una superficie.

18.11 (G) Integrali difunzioni su superfici. Il teorema della divergenza. Il teorema del rotore (di Stokes).
20.11 (V)

25.11 (V)
27.11 (V)

02.12 (V)
04.12 (V)

09.12 (V)
11.12 (G) Trasformata di Laplace: definizione, ascissa di convergenza, antitrasformata di Laplace, proprieta' elementari, trasformata e antitrasformata di funzioni elementari.

16.12 (G) Risoluzione di EDO mediante la trasformata di Laplace. Polinomi trigonometrici, migliore approssimazione in norma L^2, coefficienti di Fourier, serie di Fourier.
18.12


Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di esempi, contresempi e applicazioni. Le parti sottolineate sono state dimostrate.


FUNZIONI DI DUE VARIABILI REALI A VALORI REALI

Cenni sullo spazio vettoriale  R^2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Elementi di topologia di R^2. Funzioni da R^2 in R. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate direzionali. Gradiente. Derivate successive. Matrice hessiana. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità. Piano tangente. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Funzioni composte. Formula di Taylor del secondo ordine. Matrici definite positive (negative), indefinite. Punti stazionari e loro natura. Massimi e minimi relativi: condizioni necessarie e sufficienti. Teorema di Weierstrass.


FUNZIONI IMPLICITE

Introduzione alle funzioni implicite. Il teorema del Dini per funzioni implicite di una variabile. Massimi e minimi vincolati in due dimensioni. Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZIALI NEL PIANO

Curve. Regolarita' di curve. Lunghezza di una curva. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. Forme differenziali. Integrale curvilineo di una forma differenziale. Forme differenziali esatte. Forme differenziali chiuse. Relazione tra forme chiuse e forme esatte. Indipendenza dal cammino di integrazione per forme differenziali esatte. Forme chiuse in aperti stellati del piano.


INTEGRALI DOPPI E TRIPLI

Integrali su domini normali. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Volume di solidi di rotazione. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Corollari: formule di integrazione per parti, calcolo di aree. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli.

 

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

Superfici regolari. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Integrali di funzioni su superfici. Il teorema della divergenza e il teorema di Stokes.

ELEMENTI DELLA TEORIA DELLE FUNZIONI OLOMORFE DI UNA VARIABILE COMPLESSA

Numeri complessi, forma algebrica, forma trigonometrica, forma esponenziale. Radici n-esime, esponenziali e logaritmi. Definizione di funzioni olomorfe e proprietà differenziali: l’equazione di monodromia e il sistema di Cauchy-Riemann. Proprietà integrali: Teorema di Darboux, 1° Teorema integrale di Cauchy, 2° Teorema integrale di Cauchy, Teorema di Morera e Teorema di Liouville. Gli sviluppi in serie di potenze e serie bilatere. Espressione dei coefficienti. Punti singolari. Residui. Calcolo dei residui. Teorema dei residui.

 

SERIE DI FOURIER

Polinomi e serie trigonometriche. Definizione di serie di Fourier. Proprieta’. Convergenza puntuale della serie di Fourier per funzioni continue a tratti.


TRASFORMATA DI LAPLACE.

Trasformata di Laplace: definizione, ascissa di convergenza, antitrasformata di Laplace, proprieta’ elementari, trasformata e antitrasformata di funzioni elementari. Applicazioni: equazioni differenziali ordinarie.