CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 CALENDARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2013-2014

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.


24.02 Equazioni differenziali ordinarie (EDO). Ordine, forma implicita o esplicita, omogeneita`, linearita`, coefficienti. EDO lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea.
25.02 EDO del primo ordine lineari: struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. 
26.02 EDO del primo ordine a variabili separabili. Problema di Cauchy: esistenza locale e unicita` della soluzione, intervallo massimale di esistenza.
27.02 Esempi di riepilogo.Cambiamenti di variabile dipendente, riduzione dell'ordine (caso banale).

03.03 (CC)  EDO lineari del secondo ordine: struttura dell'integrale generale. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea.
04.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza.
05.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle costanti. Problema di Cauchy: teorema di esistenza ed unicità.
06.03 (CC)  EDO lineari di ordine n a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea, metodo di somiglianza.

10.03 Cambiamenti di variabile. Classi particolari di EDO: equazioni di Eulero
11.03 Classi particolari di EDO: equazioni autonome del secondo ordine e relativi problemi di Cauchy. Curva. Orientazione di una curva. Curva piana. Curva cartesiana.
12.03 Curva semplice. Curva chiusa. Curva di classe C^1. Vettore velocita`. Vettore accelerazione. Velocita` scalare. Accelerazione scalare. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Curva rettificabile e sua lunghezza. 
13.03 Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione. Densita` lineare e massa di un filo curvilineo. Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie).

17.03 Coordinate polari. Richiami sullo spazio vettoriale R^N. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico, insiemi di livello. Distanza (euclidea), intorni (sferici), punti di accumulazione.Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi.
18.03 (R^N)^*. Definizione di limite. Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite.
19.03 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Continuita`. Teorema di Weierstrass.
20.03 Derivate direzionali. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1.

24.03 Gradiente.Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita. Il teorema del differenziale totale.  Regola della catena per funzioni composte con curve.
25.03 Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili attraverso la definizione.
26.03 Matrice Hessiana. Il Teorema di Peano al secondo ordine. Teorema di Schwarz. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori.
27.03 Natura dei punti critici. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili.

31.03 Vincolo in R^2. Estremi vincolati in R^2. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti.
01.04 Funzione implicita. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Controesempi al teorema di Dini.
02.04 Calcolo della derivata prima e delle derivate successive della funzione implicita. Equazione parametrica e cartesiana della retta tangente a un insieme di livello. Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello.
03.04 Punto regolare di un insieme di livello. Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2.

07.04 Estremi vincolati in R^2. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti attraverso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e lavoro di un campo vettoriale).
08.04 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA (delibera del Senato Accademico dell'11 marzo 2014)
09.04  Proprieta`. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso. Forme differenziali esatte (e campi conservativi).
10.04 SOSPENSIONE DELLA DIDATTICA (delibera del Senato Accademico dell'11 marzo 2014)

14.04  L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale.
15.04 Insieme connesso. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Forme differenziali chiuse (e campi irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).  Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte.
16.04 (CC) Integrale doppio e integrabilità di funzioni definite su un rettangolo. Proprietà elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli.
17.04 VACANZE PASQUALI

21.04 VACANZE PASQUALI
22.04 VACANZE PASQUALI
23.04 (CC) Integrali doppi su insiemi più generali. Esempi di funzioni non integrabili.  Insiemi misurabili del piano. Integrali doppi ed integrabilità su insiemi misurabili. Proprietà elementari e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili.
24.04 (CC) Domini normali (semplici) rispetto a un asse. Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi.

28.04 (CC) Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Coordinate polari. Interpretazione geometrica dello Jacobiano. Coordinate ellittiche.
29.04 (CC) Altri cambi di coordinate. Esempi vari.
30.04 (CC) Alcune applicazioni fisiche degli integrali doppi: densità superficiale di massa e massa di una lamina piana. Baricentro di una lamina piana sia omogenea che non omogenea.
01.05 FESTIVITA` NAZIONALE

05.05 (CC) Integrale triplo e integrabilità di funzioni definite su un parallelepipedo. Integrazione per fili, integrazione per strati. Misura in R^3 e insiemi misurabili di R^3.
06.05 (CC) Domini semplici rispetto a un piano. Domini semplici rispetto ad un asse. Formule di riduzione per fili e per strati.
07.05 Solidi di rotazione. Calcolo di volumi di solidi di rotazione. Secondo teorema di Pappo-Guldino. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate cilindriche.
08.05 Coordinate sferiche. Densità di massa e massa di un solido. Baricentro di un solido sia omogeneo che non omogeneo.

12.05 Superfici (elementari). Parametrizzazioni di una superficie. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie.
13.05 Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto.  Punti regolari. Piano tangente e versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari.
14.05 Area di una superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di funzione su una superficie. Massa e baricentro di una lamina (omogenea e non omogenea).
15.05 Superfici orientabili. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile. Orientazione del bordo di una superficie regolare.

19.05 Divergenza di un campo vettoriale. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti. Applicazioni.
20.05 Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti. Area di un dominio regolare a tratti. Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Teorema della divergenza in R^2. 
21.05  Teorema del rotore in R^2. Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3.
22.05 Operatore di Laplace. Teorema del rotore in R^3.La divergenza come densita` di flusso per unita` di area. Il rotore (scalar una direzione) come densita` di cicuitazione (intorno a un asse) per unita` di area.

26.05 Formule di integrazione per parti in R^3.  Esecrizi di riepilogo.
27.05 (CC) Richiami: funzioni periodiche e loro proprietà. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie.
28.05 (CC) Teorema di  sviluppabilità di funzioni 2π-periodiche continue a tratti. Fenomeno di Gibbs. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.
29.05 (CC) Esercizi di riepilogo.




CALENDARIO DEGLI ANNI PRECEDENTI

Curve omotope in un insieme. Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`. Derivata di integrali in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro.

Funzioni lipschitziane. Le funzioni di classe C^1 sono localmente lipschitziane.  Ancora sul teorema di esistenza locale e unicita` per il problema di Cauchy: unicita` delle soluzioni, struttura dell'integrale generale per equazioni lineari del primo ordine.

Limite di funzioni a valori vettoriali.

Superfici composte. Integrale di funzione su superfici composte. Teoremi della divergenzxa e del rotore su superfici composte. 

Insiemi convessi. Funzioni convesse. Condizioni necessarie e sufficienti per la (stretta) convessita` di funzioni due volte differenziabili.

Ascissa curvilinea (parametro d'arco).