CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 CALENDARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2016-2017

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietā, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.

28.02 (CC) Equazioni differenziali ordinarie (EDO): struttura e classificazione. EDO lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea.
01.03 (CC) EDO del primo ordine a variabili separabili. Problemi di Cauchy.
02.03 (CC) Esistenza e unicitā locale della soluzione. Intervallo massimale di esistenza. EDO lineari del secondo ordine: struttura dell'integrale generale.
03.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale dell'equazione omogenea. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza.

07.03 (CC) EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo della variazione delle costanti. Wronskiano. Problema di Cauchy: esistenza e unicitā locale e globale per EDO lineari del secondo ordine.
08.03 (CC) Applicazione delle EDO: oscillatore armonico forzato. Fenomeno della risonanza. Battimenti. Cenni alle EDO lineari a coefficienti costanti di ordine n: struttura dell'integrale generale, metodo di somiglianza, metodo della variazione delle costanti.
09.03 (CC)  Cambiamenti di variabili nelle EDO. Abbassamento dell'ordine di una EDO. Classi particolari di EDO: y'=f(y/x), y'=f(ax+by) e relativi problemi di Cauchy.
10.03 (CC) Equazioni di Bernoulli e relativi problemi di Cauchy. Isocline. Curve integrali. Cenni allo studio qualitativo delle soluzioni di una EDO in forma normale del primo ordine.

14.03 Equazioni di Eulero. Equazioni autonome.
15.03 Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico. Distanza (euclidea), intorni (sferici), punti di accumulazione. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati. Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. (R^N)^*. Intorni di infinito. Definizione di limite.
16.03 . Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite. Coordinate polari. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Continuita`. Teorema di Weierstrass.
17.03 Derivate direzionali. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Gradiente. Funzioni differenziabili. Proprietā elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili.

21.03 Il teorema del differenziale totale. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Il gradiente come direzione di massima crescita. Insiemi d livello.Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana.
22.03 Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat. Il Teorema di Peano al secondo ordine. Insiemi e funzioni convesse. Proprietā.
23.03 Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Natura dei punti critici.
24.03 Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili attraverso la definizione. 

28.03 Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto: metodo diretto. Curva. Curva piana. Vettore velocita`. Velocita` scalare.
29.03 Curva semplice. Curva chiusa. Insiemi connessi (per archi). Curva di classe C^1. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Ascissa curvilinea (parametro d'arco). Vettore accelerazione. Accelerazione scalare. Regola della catena per funzioni composte con curve.
30.03 Insieme di livello e funzione implicita in R^2. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Calcolo della derivata prima della funzione implicita. Calcolo delle derivate successive della funzione implicita.  Controesempi al teorema di Dini. Punto regolare di un insieme di livello.
31.03 Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare.   Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Estremi vincolati in R^2. Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto.

04.04 Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2.  Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
05.04 Natura dei punti critici vincolati attraverso il metodo diretto. Massimi e minimi assoluti su un insieme compatto attraverso il metodo deimoltiplicatori.  Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con un vincolo.
06.04 Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con due vincoli.
07.04 Lunghezza di una curva. Curva rettificabile. Formula integrale per il calcolo della lunghezza.

11.04 Densita` lineare e massa di un filo curvilineo. Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie).  Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). L'integrale curvilineo di I specie č invariante per curve equivalenti.
12.04 Massa e baricentro di un filo curvilineo omogeneo e non omogeneo. Domini semplici o normali rispetto a un asse in R^2. Area di un dominio semplice/normale. Insiemi scomponibili in domini semplici/normali.
13.04 (CC) Insiemi misurabili del piano. Insiemi non misurabili. Integrale doppio e integrabilitā di funzioni definite su un rettangolo.  Formule di riduzione sui rettangoli. Integrali doppi ed integrabilitā su insiemi misurabili. Alcune classi di funzioni integrabili.

VACANZE PASQUALI

19.04 (CC) Proprietā elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi.
20.04 Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Interpretazione geometrica dello Jacobiano. Coordinate polari.
21.04  Coordinate ellittiche. Altri cambi di coordinate. Massa e baricentro di una lamina piana sia omogenea che non omogenea.

25.04 FESTIVITA' NAZIONALE
26.04 Integrali tripli. Formule di riduzione sui parallelepipedi.
27.04 Formule di riduzione: integrazione per fili e per strati. Solidi di rotazione. Volume dei solidi di rotazione.
28.04 Volume, densitā di massa, massa  e baricentro di un solido. Cambiamenti di variabile negli integrali tripli. Coordinate cilindriche.

02.05 Coordinate sferiche.
03.05 Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale o di II specie (e lavoro di un campo vettoriale).   Relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie. Proprieta`. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso.
04.05 Forme differenziali esatte (e campi vettoriali conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione delle forme esatte. Determinazione della funzione potenziale.
05.05 Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Forme differenziali chiuse (e campi vettoriali irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso).

09.05 Curve omotope. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse su insiemi semplicemente connessi sono esatte. Il campo di induzione magnetica.
10.05 Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`. Derivata di integrali in cui sia la funzione integranda che gli estremi dipendono da un parametro. Formule di Green su domini semplici di R^2 regolari a tratti.
11.05 Domini regolari a tratti. Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti.  Area di un dominio regolare a tratti.
12.05 SCAMBIO CON I DOCENTI DI FISICA PER LEZIONI IN AULA AMALDI

16.05 Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in R^2. Flusso di un campo vettoriale piano. La divergenza come densita' di flusso.
17.05 Formula di integrazione per parti in R^2. Teorema del rotore in R^2. Circuitazione di un campo vettoriale piano. Il rotore come densita' di circuitazione. Introduzione alle superfici: parametrizzazioni di una superficie, esempi vari, superfici cartesiane.
18.05 (CC) Linee coordinate e vettori tangenti ad una superficie. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto.  Punti regolari. Versori normali ad una superficie in un suo punto regolare. Superfici regolari. Superfici regolari a tratti. Superfici di rotazione.
19.05 (CC) Elemento d'area. Area di una superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di una funzione su una superficie.

23.05 (CC) Superfici orientabili. Esempi vari. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile.
24.05 Dominio regolare di R^3. Teorema della divergenza in R^3.  La divergenza come densita` di flusso uscente per unita` di volume.  Operatore di Laplace.  Formule di integrazione per parti in R^3. 
25.05 Bordo e orientazione del bordo di una superficie regolare. Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densita` di cicuitazione (intorno a un asse) per unita` di area.
26.05 Cenni alle equazioni alle derivate parziali.

30.05 (CC) Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. Teorema di  sviluppabilitā di funzioni 2π-periodiche continue. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie.
31.05 (CC) Teorema di  sviluppabilitā di funzioni 2π-periodiche continue a tratti. Generalizzazioni: sviluppo di funzioni 2L-periodiche, sviluppo di funzioni definite su intervalli limitati. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.
01.06 Esercizi di riepilogo.

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