LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1
Proff. Lorenzo Giacomelli e
Christian Casalvieri
a.a. 2015/2016
C.d.L. Ingegneria Aerospaziale - Canale A-K
I punti del programma si intendono comprensivi di definizioni,
enunciati, esempi, contresempi, applicazioni e, per le
parti
sottolineate, dimostrazioni.
Testo consigliato: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli. Analisi
Matematica, seconda edizione. McGraw-Hill, 2011.
28.09 Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi,
razionali: operazioni, ordinamento, densità.
La "radice di 2"
non è un numero razionale. Numeri reali: operazioni,
ordinamento, densità. Intervalli. Rappresentazione cartesiana di
R.
Maggiorante
(minorante), insieme superiormente (inferiormente) limitato,
insieme limitato.
29.09 Massimo (minimo),
estremo superiore (inferiore). Completezza
dei numeri reali.
Radice
n-esima. Potenze con esponente reale. Logaritmi.
Quantità
trigonometriche.
30.09 Funzione:
dominio, codominio, immagine, grafico. Relazioni tra grafico,
dominio e immagine. Funzioni reali di una variabile reale.
Successioni. Funzioni monotone. Funzione segno.
02.10 Funzioni iniettive,
suriettive, biettive.
Relazione tra iniettivita` e monotonia.
Funzione pari, funzione dispari. Funzioni potenza: proprieta` e
grafici qualitativi.
05.10 Funzione parte intera.
Funzione parte
decimale. Funzione periodica, periodo. Funzioni potenza,
esponenziali e trigonometriche: proprieta` e grafici qualitativi.
06.10 Funzioni composte.
Monotonia di funzioni composte.
Funzione (superiormente, inferiormente) limitata, massimo e minimo
globale (o assoluto). Estremo superiore e inferiore di una
funzione nel suo dominio naturale.
07.10 Caratterizzazione dell'estremo superiore e
inferiore. Estremo superiore e inferiore di una funzione in un
sottoinsieme del dominio naturale.
Intorni. Valore assoluto. Distanza euclidea in
R.
Massimo (minimo) locale. Punti di massimo (minimo) locale o
relativo. Funzioni invertibili, funzione inversa.
08.10 Prima relazione fra
invertibilità e monotonia. Funzioni trigonometriche inverse.
Funzioni logaritmiche: proprieta` e grafici qualitativi. R*,
intorni di +infinito e -infinito. Punti di accumulazione.
12.10 Il
concetto di limite.
Definizione
di limite di funzioni reali di una variabile reale. Verifica del
limite con l'utilizzo della definizione.
Unicita` del limite.
Limite destro (sinistro). Relazione tra limite, limite destro e
limite sinistro. Non esistenza del limite.
13.10 Permanenza del segno.
Operazioni con i limiti. Limite di funzione monotona.
Limiti di funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche,
trigonometriche.
14.10 Limiti di funzioni logaritmiche e trigonometriche.
Aritmetica parziale di R* (I parte).
Limite di funzioni razionali.
Limite di funzione composta.
16.10 Teorema del confronto. Aritmetica parziale di R*
(II parte). Forme indeterminate. Funzioni
infinitesime, funzioni infinite. Il simbolo di Landau "o(1)" (o
piccolo di 1).
Algebra
di "o(1)".
19.10 Limiti
notevoli di funzioni trigonometriche e trigonometriche
inverse.
Disuguaglianza
di Bernoulli.
Gerarchie
di infiniti.
20.10 (CC) Confronto tra infiniti per successioni.
Il numero e.
Altri limiti notevoli per successioni.
21.10 (CC) Serie numeriche.
Calcolo diretto di alcune somme:
serie geometriche, serie di Mengoli, serie
telescopiche.
Condizione necessaria per la
convergenza di una serie. Linearità.
Comportamento della
coda di una serie.
22.10 (CC) Serie a termini
positivi:
carattere.
Carattere della serie armonica
generalizzata e della serie di Abel. Criterio del confronto.
26.10 (CC) Criterio del confronto
asintotico. Criterio del rapporto,
criterio della radice.
27.10 (CC) Serie a segno alterno e
criterio di Leibnitz. Convergenza assoluta.
28.10 Altri limiti notevoli. Calcolo
di limiti. Asintoto orizzontale, verticale, obliquo.
29.10 Funzioni
iperboliche. Confronto tra funzioni infinite e tra funzioni
infinitesime.
Il
simbolo "o(g)" (o piccolo di g).
Algebra di "o(g)".
02.11 (CC) Numeri complessi.
Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi: parte reale,
parte immaginaria, operazioni, modulo, coniugio
.
03.11 (CC) Coordinate
polari. Rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi.
Prodotto, potenze n-esime. Rappresentazione
esponenziale.
04.11 (CC) Esercizi di riepilogo su numeri complessi e
serie numeriche.
05.11 (CC) Continuità. Continuità delle funzioni
elementari. Proprietà elementari. Punti di discontinuità.
Teorema
degli zeri.
09.11 Risoluzione di (dis)equazioni mediante il metodo
grafico.
Teorema dei
valori intermedi.
Monotonia e invertibilità su
intervalli. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Sottosuccessioni. Teorema ponte e non esistenza di limiti. Ogni
successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.
Teorema di Weierstrass in un
intervallo.
10.11 Rapporto
incrementale. Migliore approssimazione lineare e retta tangente.
Derivabilità e derivata.
Derivate di funzioni elementari. Funzioni non
derivabili. Punto a tangente verticale.
11.11 Punto
angoloso, cuspide. Derivata destra, sinistra.
Proprietà elementari.
Derivata di funzione
composta.
12.11 Derivata di funzione inversa.
Teorema di Fermat.
Estremi locali e derivata
prima.
Teorema di Rolle.
16.11 Teorema di
Lagrange.Relazioni
tra derivata prima e monotonia. Determinazione di
estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimi e minimi
locali o assoluti. Studio del grafico di una funzione reale di una
variabile reale nell'ipotesi di "minimo numero di flessi".
17.11 Derivate
di ordine superiore. Funzioni convesse e concave. Relazioni fra
derivata seconda e convessità.
Punti di flesso.
Teorema di Cauchy.
18.11 Teorema di de
l'Hospital.
Polinomi
di Taylor e di McLaurin.
19.11 Teorema di
Peano.
23.11(CC) Applicazioni del Teorema di Peano:
calcolo dei limiti.
24.11 (CC) Studio del carattere di serie numeriche mediante
applicazioni del teorema di Peano.
25.11 Applicazioni del Teorema di Peano: natura dei
punti critici interni mediante il segno della derivata seconda.
Integrale (di Riemann) e integrabilità (secondo Riemann).
Integrale e area con segno. Funzioni non integrabili. Alcune
classi di funzioni integrabili.
26.11 Proprietà elementari.
Teorema della media. Funzione integrale. Funzioni
integrali di funzioni costanti a tratti.
30.11 Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Funzione primitiva.
Integrali indefiniti.
01.12 (CC) Proprietà. Integrali definiti di funzioni
definite a tratti.
02.12 (CC) Integrazione per parti.
Integrazione di funzioni razionali.
03.12 (CC) Integrazione per sostituzione.
Alcune sostituzioni particolari.
07.12 Formula del resto di Lagrange. Serie di Taylor.
Funzioni analitiche.
Approssimazione di funzioni mediante polinomi.
08.12 FESTIVITA' NAZIONALE
09.12 Integrali
impropri su intervalli illimitati e/o di funzioni non limitate.
Calcolo diretto per alcuni campioni.
10.12 Integrali impropri:
criterio del confronto, criterio del confronto asintotico.
14.12 Integrali impropri: aassoluta integrabilità,
criterio di assoluta integrabibilità. Criterio integrale per le
serie numeriche. Studio di funzioni integrali: estremi locali,
limiti attraverso il teorema di de l'Hopital,
composizione e
derivazione.
15.12 Ordine di infinito e ordine di infinitesimo.
16.12 Elementi di topologia in R: punto interno, punto
esterno, punto di frontiera; interno, chiusura e frontiera di un
insieme; insieme aperto, insieme chiuso.
Ogni insieme chiuso e
limitato ammette massimo e minimo. Insieme compatto (per
successioni). Caratterizzazione dei compatti di R.
Teorema di
Weierstrass su insiemi compatti. Funzioni Lipschitziane.
17.12 Il numero e. Esercizi di riepilogo.
CALENDARIO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA DELL'ANNO PRECEDENTE.
GLI ARGOMENTI SVOLTI (QUI E/O NEL LABORATORIO) VENGONO VIA VIA
ESPUNTI