CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II

LORENZO GIACOMELLI E CHRISTIAN CASALVIERI

A.A.  2010-2011

 

Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.


FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI A VALORI REALI

Richiami sullo spazio vettoriale  R^N. Funzioni da R^N in R^M: dominio naturale, insiemi di livello, curve, campi vettoriali. Cenni di topologia in R^N: distanza euclidea, intorni (sferici), punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi chiusi, punti di accumulazione. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz in R^N. Invarianze di R^N. (R^N)^*. Definizione di limite. Proprieta` elementari del limite. Non esistenza del limite. Coordinate polari. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Limite di funzioni a valori vettoriali. Successioni a valori vettoriali. Continuita`. Compattezza per successioni. Caratterizzazione dei compatti di R^N. Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali. Gradiente. Proprieta` elementari delle derivate parziali. Differenziabilita`. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuita` e derivabilita` delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita. Il teorema del differenziale totale. Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuita` e derivabilita`. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Insiemi convessi. Funzioni convesse. Condizioni necessarie e sufficienti per la (stretta) convessita` di funzioni due volte differenziabili. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni). Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti. Estremo superiore e inferiore di funzioni di due variabili.

INTEGRALI MULTIPLI

Integrale doppio e integrabilita` di funzioni definite su un rettangolo. Proprieta` elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli. Insiemi misurabili del piano. Integrali doppi su insiemi misurabili. Proprieta` elementari e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili. Domini normali (semplici). Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Matrice Jacobiana. Cambiamenti di variabile negli integrali doppi. Passaggio in coordinate polari. Baricentro di una lamina omogenea. Integrali doppi: altri cambi di coordinate. Densita` e baricentro di una lamina non omogenea.
Integrali tripli su parallelepipedi: integrazione per strati, integrazione per fili. Domini semplici rispetto a un asse. Domini semplici rispetto a un piano. Formule di riduzione per fili e per strati. Volume di solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli.

CURVE, FORME DIFFERENZIALI E INTEGRALI CURVILINEI

Curva. Curva semplice. Curva chiusa. Curva cartesiana. Orientazione di una curva. Curva piana. Curva di Jordan. Orientazione positiva di una curva di Jordan. Curva di classe C^1 (a tratti). Vettore velocita`. Curva regolare (a tratti) e vettore tangente a una curva. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti (con lo stesso verso, con verso opposto). Velocita`. Accelerazione. Versore tangente.
Curva rettificabile e sua lunghezza. La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione. Lunghezza di una curva cartesiana. Densita` lineare e massa di un filo curvilineo. Ascissa curvilinea (o parametro d'arco).  Integrale curvilineo di una funzione.
Forme differenziali (e campi vettoriali). Integrale curvilineo di una forma differenziale (e lavoro di un campo vettoriale). Forme differenziali esatte (e campi conservativi). L'integrale curvilineo di una forma differenziale esatta dipende solo dagli estremi del cammino. Determinazione della funzione potenziale. Rotore di un campo vettoriale di R^3. Forme differenziali chiuse (e campi irrotazionali). Le forme esatte di classe C^1 sono chiuse (ma il viceversa e` falso). Caratterizzazione delle forme esatte. Curve omotope in un insieme. Insieme semplicemente connesso. Le forme chiuse in aperti semplicemente connessi sono esatte.

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie. Punti regolari. Piano tangente e versori normali a una superficie in un punto regolare. Area di una superficie. Integrale di funzione su una superficie. Area di superfici di rotazione. Superfici orientabili. Orientazione del bordo. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie.

I TEOREMI DELLA DIVERGENZA E DEL ROTORE

Formule di Green su domini semplici di R^2 con frontiera regolare a tratti.  Formule di Green su domini di R^2 scomponibili in domini semplici con frontiera regolare a tratti. Domini di Green e orientazione della loro frontiera. Area di un dominio di Green. Formule di integrazione per parti su un dominio di Green. Divergenza di un campo vettoriale. Interpretazione di divergenza e rotore. Versore normale esterna a un dominio di Green. Teorema della divergenza in R^2. Teorema del rotore in R^2.
Teorema della divergenza (e teorema del gradiente) in R^3.  Equazione di continuita' della massa. Formule di integrazione per parti in R^3. Operatore di Laplace. Teorema del rotore in R^3. 

IL TEOREMA DELLE FUNZIONI IMPLICITE IN R^2 E ALCUNE SUE APPLICAZIONI

Vincolo in R^2. Estremi vincolati in R^2.  Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Insieme di livello. Punto regolare di un insieme di livello. Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2. Estremi vincolati in R^2. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti attraverso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Equazioni differenziali ordinarie: ordine, forma implicita o esplicita, omogeneita`, linearita`, coefficienti. Equazioni lineari del primo ordine: struttura delle soluzioni dell'equazione omogenea, struttura delle soluzioni dell'equazione non omogenea. Equazioni a variabili separabili. Problema di Cauchy: esistenza locale e unicita` della soluzione, intervallo massimale di esistenza. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura dell'integrale generale, metodo della variazione delle costanti, metodo di somiglianza, problema di Cauchy. Riduzione dell'ordine di una EDO. Equazioni differenziali ordinarie di ordine superiore al secondo. Alcune classi particolari di edo: equazioni di Eulero, equazioni autonome.

SERIE DI FOURIER

Polinomi trigonometrici. Polinomi di minima distanza quadratica media da una funzione. Coefficienti di Fourier. Serie di Fourier. Convergenza delle serie di Fourier. Determinazione della somma di una serie attraverso le serie di Fourier.