Richiami sullo spazio vettoriale  R^N: punti e vettori (applicati) in R^N, rappresentazioni, operazioni, modulo e distanza (euclidea), disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Coordinate polari. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico, insiemi di livello. Cenni di topologia in R^N: distanza (euclidea), intorni (sferici), insiemi limitati, punti di accumulazione, punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Insiemi connessi (per archi). (R^N)*. Intorni di infinito. Definizione di limite. Proprietà elementari del limite. Non esistenza del limite. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Calcolo dei limiti. Continuità.  Teorema di Weierstrass. Derivate direzionali. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Gradiente. Proprietà elementari delle derivate parziali. Funzioni derivabili. Le funzioni derivabili non sono tutte continue se N>1. Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili. Calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. Il gradiente come direzione di massima crescita. Il teorema del differenziale totale. Punti critici (stazionari). Il teorema di Fermat. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Insiemi convessi. Funzioni convesse. Criteri differenziali di convessità. Il Teorema di Peano al secondo ordine. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Natura dei punti critici interni. Caratterizzazione delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^2. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili (tramite la matrice hessiana o tramite la definizione). Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti: metodo diretto. Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Differenziabilità e differenziale. Regola della catena.

FUNZIONI IMPLICITE ED ESTREMI VINCOLATI

Insieme di livello. Funzione implicita. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2. Controesempi al teorema di Dini.  Calcolo della derivata prima e delle derivate successive della funzione implicita.  Vincolo in R^2. Estremi vincolati in R^2. Determinazione degli estremi vincolati in R^2: metodo diretto. Punto regolare di un insieme di livello. Retta tangente e vettore normale a un insieme di livello in un suo punto regolare. Il gradiente è ortogonale all'insieme di livello nei punti regolari. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2. Determinazione degli estremi assoluti vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Estremi assoluti di funzioni di due variabili su insiemi compatti attraverso il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Il teorema di Dini in R^3: estremi vincolati di funzioni di tre variabili con un vincolo.

INTEGRALI MULTIPLI

Integrale doppio e integrabilità di funzioni definite su un rettangolo. Proprietà elementari e teorema della media. Formule di riduzione sui rettangoli. Insiemi misurabili e non misurabili del piano. Integrali doppi su insiemi misurabili. Proprietà elementari e teorema della media. Alcune classi di funzioni integrabili. Domini normali (semplici) rispetto a un asse. Formule di riduzione sui domini normali. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Integrale di funzione su un dominio ammissibile. Cambiamenti di variabile negli integrali doppi. Matrice Jacobiana e Jacobiano di una trasformazione. Interpretazione geometrica dello Jacobiano. Passaggio in coordinate polari, passaggio in coordinate ellittiche, e altri cambi di coordinate. Area e baricentro di una figura piana. Densità, massa e centro di massa di una lamina piana. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi.
Integrali tripli su parallelepipedi: integrazione per strati, integrazione per fili. Domini semplici rispetto a un asse. Domini semplici rispetto a un piano. Formule di riduzione “per fili” e “per strati”. Volume e baricentro di un insieme nello spazio. Densità, massa e centro di massa di un solido. Volume di solidi di rotazione. Calcolo degli integrali tripli su solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Passaggio in coordinate cilindriche e sferiche.

CURVE E INTEGRALI DI FUNZIONI SU CURVE (INTEGRALI CURVILINEI DI PRIMA SPECIE)

Curva. Rappresentazione di una curva, sostegno. Curva semplice. Curva chiusa. Curva piana. Curva cartesiana. Curva polare. Orientazione di una curva. Curva di Jordan. Orientazione di una curva di Jordan. Curva di classe C^1 (a tratti). Vettore velocità e sua rappresentazione, velocità scalare. Vettore accelerazione, accelerazione scalare. Curva regolare (a tratti) e vettore tangente a una curva. Versore tangente. Retta tangente. Regola della catena per funzioni composte con curve. Curva rettificabile e lunghezza di una curva. Formula integrale per il calcolo della lunghezza. Ascissa curvilinea (o parametro d'arco).  Integrale curvilineo di una funzione. Cambiamenti di parametrizzazione. Curve equivalenti. L'integrale curvilineo di I specie è invariante per curve equivalenti. Densità lineare, massa e centro di massa di un filo curvilineo.

CAMPI VETTORIALI (FORME DIFFERENZIALI) IN R^2, R^3 E LORO INTEGRAZIONE SU CURVE (INTEGRALI CURVILINEI DI SECONDA SPECIE)

Campi vettoriali: proprietà di base, rappresentazione grafica. Forme differenziali (lavoro infinitesimale). Integrale curvilineo di un campo vettoriale (lavoro di un campo vettoriale lungo una curva). Proprietà. Invarianza per curve equivalenti con lo stesso verso. Prima elazione tra integrali curvilinei: dx=Tds. Insieme connesso (per archi). Campi conservativi (forme esatte). L'integrale curvilineo di un campo conservativo dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione dei campi conservativi. Determinazione della funzione potenziale. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3. Campi irrotazionali (forme chiuse). I campi conservativi di classe C^1 sono irrotaionali, ma il viceversa è falso. Curve omotope in un insieme. Insieme semplicemente connesso. I campi irrotazionali in aperti semplicemente connessi sono conservativi. Il campo di induzione magnetica. Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva semplice e chiusa.

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Punti interni e bordo di una superficie. Punti regolari. Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari e regolari a tratti. Superfici di rotazione. Elemento d’area. Area di una superficie. Area di superfici di rotazione. Integrale di funzione su una superficie. Baricentro di una superficie. Massa e centro di massa di una lamina. Superfici orientabili. Orientazione del bordo. Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie. Superfici composte.

I TEOREMI DELLA DIVERGENZA E DEL ROTORE

Formule di Green su domini semplici di R^2 con frontiera regolare a tratti. Domini regolari a tratti. Orientazione positiva della frontiera di domini regolari a tratti.  Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti.   Area di un dominio regolare a tratti. Normale esterna a un dominio di R^2 regolare a tratti. Seconda relazione tra integrali curvilinei: (dy,-dx)=Nds.  Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in R^2. Teorema della divergenza in R^3. Formule di integrazione per parti. Operatore di Laplace. La divergenza come densità di flusso uscente per unità di area (in R^2) o volume (in R^3).
Teorema del rotore in R^2. Il rotore (scalar e3) come densità di circuitazione (intorno all'asse e3) per unità di area. Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.


EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Equazioni differenziali ordinarie (EDO): ordine, forma implicita o esplicita, omogeneità, linearità, coefficienti. EDO lineari del primo ordine: struttura dell'integrale generale, metodo della variazione della costante, metodo di somiglianza. Equazioni del primo ordine a variabili separabili.  Problema di Cauchy: esistenza locale e unicità della soluzione, intervallo massimale di esistenza. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: integrale generale dell'omogenea associata, metodo di somiglianza.  EDO lineari di ordine n: struttura dell'integrale generale, integrale generale dell'omogenea associata, metodo di somiglianza. Problema di Cauchy e problema con condizioni al contorno per EDO di ordine due o superiore. Riduzione dell'ordine di una EDO: caso banale, metodo di d'Alambert. Cambiamenti di variabile: equazioni di Eulero, equazioni autonome e relativi problemi di Cauchy. Altri cambiamenti di variabile (y'=f(y/x), y'=f(ax+by),...).

SERIE DI FOURIER

Polinomi trigonometrici. Polinomio di minima distanza quadratica media da una funzione continua.  Serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie. Serie di Fourier di funzioni 2L-periodiche. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier.