CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

 PROGRAMMA DEFINITIVO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2

A.A. 2023-2024

LORENZO GIACOMELLI E TOMMASO LEONORI


Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti sottolineate, dimostrazioni.

Testi consigliati: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - Analisi Matematica (seconda edizione) - McGraw-Hill, 2011.

Il programma non viene svolto nell'ordine in cui è stilato. Per informazioni sull'ordine si veda il calendario indicativo delle lezioni.


FUNZIONI DI PIU' VARIABILI REALI A VALORI REALI

Introduzione. R^N. Punti e vettori (applicati) in R^N, rappresentazioni, operazioni. Modulo e distanza (euclidea). Coordinate polari. Funzioni da R^N in R: dominio naturale, immagine, grafico. Simmetria di rotazione rispetto a un asse. Simmetrie pari o dispari rispetto a un asse (in R^2) o rispetto a un punto. Insiemi di livello. Intorni sferici, punti di accumulazione. (R^N)^*. Intorni di infinito. Definizione di limite. Continuità. Proprietà elementari del limite e delle funzioni continue. Cenni di topologia in R^N: punti interni, punti esterni, punti di frontiera, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi limitati.  Caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Insiemi connessi (per archi). Teorema dei valori intermedi. Derivate direzionali. Derivate parziali. Gradiente. Funzioni derivabili. Proprieta` elementari delle derivate parziali e del gradiente. Le funzioni derivabili non sono continue se N>1. Funzioni differenziabili. Piano tangente al grafico di una funzione da R^2 in R. Continuità, derivabilità e derivate direzionali delle funzioni differenziabili. Proprietà elementari delle funzioni differenziabili. Il teorema del differenziale totale. Il gradiente come direzione di massima crescita.  Regole della catena per funzioni composte con curve. Punti critici (stazionari). Il Teorema di Fermat. Candidati a punti di estremo locale di una funzione. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Il Teorema di Peano al secondo ordine. Matrici (semi-)definite positive (negative), indefinite e loro autovalori. Caratterizzazioni delle matrici (semi-)definite positive (negative) o indefinite in R^N e in R^2. Natura dei punti critici. Studio dei massimi e minimi liberi (ovvero, natura dei punti stazionari interni) per funzioni di due variabili (tramite lo studio della matrice hessiana o tramite la definizione). Integrali dipendenti da un parametro: definizione, continuità e derivabilità.  Insiemi convessi. Funzioni convesse. Criterio differenziale di convessità.

FUNZIONI IMPLICITE ED ESTREMI VINCOLATI

Estremi vincolati in R^2. Determinazione degli etremi locali vincolati in R^2: metodo ad-hoc. Punto regolare di un insieme di livello. Il teorema delle funzioni implicite (o di Dini) in R^2 (enunciato qualitativo). Il gradiente e` ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare.  Retta tangente a un insieme di livello in un suo punto regolare. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^2. Determinazione degli estremi assoluti vincolati in R^2: metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Determinazione degli estremi locali vincolati in R^2. Determinazione degli estremi assoluti di funzioni continue su insiemi compatti di R^2. Il teorema di Dini in R^3 con un vincolo (enunciato qualitativo). Il gradiente è ortogonale all'insieme di livello in un suo punto regolare. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^3 con un vincolo. Il teorema di Dini in R^3 con due vincoli (enunciato qualitativo).  Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R^3 con due vincoli. Estremi vincolati di funzioni di tre variabili con uno o due vincoli.

INTEGRALI MULTIPLI

Integrali doppi su rettangoli. Proprietà elementari. Teorema della media integrale. Le funzioni continue (a tratti) sono integrabili. Formule di riduzione sui rettangoli. Insiemi misurabili del piano. Insiemi non misurabili. Classi di insiemi misurabili. Integrali doppi e integrabilità su insiemi misurabili. Proprietà elementari. Teorema della media integrale. Le funzioni continue (a tratti) sono integrabili. Domini normali in R^2. Area di un dominio normale. Formule di riduzione sui domini normali. Utilizzo di simmetrie nel calcolo di integrali doppi. Domini ammissibili (ovvero scomponibili in domini normali). Centro d'area di un insieme nel piano. Massa e centro di massa di una lamina (non) omogenea. Centro d'area di insiemi simmetrici rispetto a una retta. Baricentro di baricentri. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Matrice jacobiana, determinante jacobiano, interpretazione geometrica. Coordinate polari. Coordinate ellittiche. Altri cambi di coordinate. 
Integrali tripli. Proprietà. Teorema della media integrale. Volume, centro d'area, massa e centro di massa di un solido. Integrazione per fili. Integrazione per strati. Solidi di rotazione. Volume di solidi di rotazione. Cambiamenti di variabile negli integrali tripli. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Coordinate ellissoidali.

CURVE E INTEGRALI DI FUNZIONI SU CURVE (I SPECIE)

Curva. Rappresentazione di una curva. Sostegno. Orientazione di una curva. Curva piana. Curva semplice. Curva chiusa. Curva cartesiana. Curva polare. Vettore velocità e sua rappresentazione.  Velocità scalare. Curva regolare. Vettore e versore tangente a una curva. Retta tangente al sostegno di una curva. Vettore accelerazione. Accelerazione scalare. Regole della catena per funzioni composte con curve. Lunghezza di una curva. Curva rettificabile. Formula integrale per il calcolo della lunghezza. Integrale curvilineo di una funzione (di prima specie). Proprietà elementari. Densità lineare e massa di un filo curvilineo. Baricentro e centro di massa di un filo curvilineo.

CAMPI VETTORIALI, FORME DIFFERENZIALI E LORO INTEGRAZIONE SU CURVE (II SPECIE)

Campi vettoriali: proprietà di base, rappresentazione grafica. Forme differenziali. Integrale di un campo vettoriale lungo una curva (o integrale curvilineo di II specie). Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva. Proprietà.  Il lavoro cambia segno insieme al verso della curva. Prima relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie. Campi vettoriali conservativi (forme differenziali esatte). L'integrale curvilineo di un campo conservativo dipende solo dagli estremi del cammino. Caratterizzazione dei campi conservativi. Determinazione della funzione potenziale. Calcolo del lavoro di un campo vettoriale conservativo. Rotore di un campo vettoriale in R^2 e in R^3.  Forme differenziali chiuse e campi vettoriali irrotazionali. I campi vettoriali conservativi di classe C^1 sono irrotazionali, ma il viceversa e` falso: il campo magnetico generato da un filo elettrico rettilineo infinito. Curve omotope a un punto. Insieme semplicemente connesso. I campi irrotazionali su insiemi semplicemente connessi sono conservativi. Divergenza di un campo vettoriale. Campi radiali: funzione potenziale e divergenza. Relazioni tra operatori differenziali (gradiente, divergenza, rotore). 

SUPERFICI E INTEGRALI DI SUPERFICIE

Superfici (elementari). Parametrizzazione. Superfici cartesiane. Superfici di rotazione. Punti interni e bordo di una superficie. Punti regolari. Regola della catena per parametrizzazioni composte con curve.   Identificazione del piano tangente e dei versori normali a una superficie in un punto regolare. Superfici regolari e regolari a tratti. Elemento d’area. Area di una superficie. Integrale di funzione su una superficie. Baricentro di una superficie. Centro di massa di una lamina. Superfici composte. Superfici di rotazione. Area di superfici di rotazione.  Integrali di funzioni su superfici di rotazione. Superfici orientabili. ll nastro di Moebius. Orientazione del bordo di una superficie orientabile.

I TEOREMI DELLA DIVERGENZA E DEL ROTORE

Orientazione positiva della frontiera di domini normali. Formule di Green nel piano su domini normali rispetto a entrambi gli assi.  Domini regolari a tratti (o di Green). Orientazione positiva della frontiera di domini regolari a tratti.  Formule di Green su domini di R^2 regolari a tratti (dimostrazione per un prototipo).  Area di un dominio regolare a tratti. Versore normale esterno alla frontiera di un dominio regolare a tratti. Seconda relazione tra integrali curvilinei di I specie e integrali curvilinei di II specie. Flusso di un campo vettoriale piano uscente da un sottoinsieme di R^2. Divergenza di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in R^2. La divergenza come densità di flusso uscente per unità di area. Formula di integrazione per parti in R^2. Operatore di Laplace. Circuitazione di un caampo vettoriale lungo una curva semplice e chiusa. Circuitazione e lavoro lungo una curva semplice e chiusa. Teorema del rotore in R^2.  Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.
Flusso di campo vettoriale attraverso una superficie orientabile. Dominio regolare di R^3. Normale esterna a un dominio regolare.  Flusso di un campo vettoriale uscente da un dominio regolare. Teorema della divergenza in R^3. La divergenza come densità di flusso uscente per unità di volume.  Formule di integrazione per parti in R^3. Equazione di continuità (bilancio di massa per fluidi comprimibili).  Circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa. Teorema del rotore in R^3. Il rotore (scalar una direzione) come densità di circuitazione (intorno a un asse) per unità di area.


EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (EDO)

EDO. Classificazione delle EDO: forma implicita ed esplicita, ordine, linearità. Definizione di soluzione ed integrale generale di una EDO. EDO lineari del primo ordine. Problema di Cauchy. EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: le combinazioni lineari di soluzioni sono soluzioni, soluzioni linearmente indipendenti, integrale generale, metodo di variazione delle costanti, metodo di somiglianza, problema di Cauchy.  EDO lineari di ordine superiore al secondo a coefficienti costanti, integrale generale, metodo di somiglianza. EDO del primo ordine a variabili separabili. Problema di Cauchy, metodo di risoluzione generale. Teorema di esistenza, unicità ed intervallo massimale per il problema di Cauchy. EDO del primo ordine a variabili separabili: controesempi all’unicità per il problema di Cauchy. Metodi risolutivi: Bernoulli, riduzione dell'ordine. Cambiamenti di variabile: EDO lineari del secondo ordine di tipo Eulero, EDO del secondo ordine autonome, altri cambiamenti di variabile. EDO con valori al contorno.

SERIE DI FOURIER

Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier. Determinazione dei coefficienti di Fourier. Relazione tra coefficienti di Fourier e simmetrie. Serie di Fourier di funzioni L-periodiche. Determinazione della somma di una serie attraverso la serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier: esistenza della soluzione del problema della corda vibrante.


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