PLS Progetto Archimede

Sapienza, Università di Roma

I. T. I. S. Galileo Galilei Roma

ESPANSIONE DI UN ICOSAEDRO REGOLARE

De Santis Nicolò

I.T.I.S. Galileo Galilei III L

(Nell’ambito del progetto Matemaica creativa)

FASE 1 :

Dopo aver realizzato un icosaedro regolare per mezzo del comando “ icosaedro regolare” abbiamo trovato il centro C dell’icosaedro per mezzo dell’intersezione tra due rette aventi come punti (appartenenti alle rette) due vertici opposti del solido.

FASE 2 :

Dopo aver scelto una faccia del solido abbiamo usato il comando “poligono” per ottenere il triangolo equilatero ABD, poi usando prima il comando “retta” e poi il comando “perpendicolare” abbiamo ottenuto la retta perpendicolare al triangolo ABD (quindi perpendicolare al piano passante per A, B e D) e passante per il vertice D.

FASE 3 :

Dopo aver fissato il punto P sulla retta trovata precedentemente abbiamo considerato la traslazione che porta D in P, abbiamo così ottenuto il triangolo PJK traslazione del triangolo ABD da D in P.

FASE 3 :

Usando il comando “piano” abbiamo ottenuto il piano X passante per i tre punti CDB, notando che è il piano di simmetria tra il triangolo DBA e DBL. Quindi usando lo stesso piano abbiamo trovato il triangolo ERT simmetrico di PKJ (rispetto al piano X) ed esplosione del triangolo DBL.

FASE 4 :

Continuando con le simmetrie rispetto a un piano siamo riusciti ad ottenere tutte e venti le facce espanse del icosaedro usando tre piani.

FASE 5 :

Usando, nuovamente, il comando “poligono” abbiamo ottenuto il quadrilatero PRKT. Si può dimostrare che il quadrilatero PRKT è un rettangolo.

FASE 6 :

Utilizzando il comando “simmetria rispetto ad un piano” e sfruttando i tre piani precedenti abbiamo ottenuto le restanti facce quadrangolari.

FASE 7 :

Usando, nuovamente, il comando “poligono” abbiamo ottenuto il pentagono PSHLR espansione del vertice D. Si può dimostrare che il pentagono PSHLR è regolare.

FASE 8 :

Utilizzando il comando “simmetria rispetto ad un piano” e sfruttando i tre piani precedenti abbiamo ottenuto le restanti facce pentagonali.

ICOSAEDRO ESPANSO

Chi è dotato del Plugh in di Cabri 3D può cliccare sulla figura precedente. Trascinando il punto P di colore rosso può vedere come varia il poliedro espanso al variare del punto P.

Chi è dotato di Cabri 3D può aprire il file qui.

Si può notare che i triangoli equilateri verdi hanno sempre i lati uguali ai lati dell’icosaedro di partenza, poiché sono traslazioni delle facce dell’icosaedro regolare. La lunghezza dei lati dei pentagoni regolari varia infatti i pentagoni possono degenerare nel vertice del icosaedro iniziale o ingrandirsi quanto si vuole. I rettangoli hanno due lati di lunghezza sempre uguale alla lunghezza degli spigoli dell’icosaedro mentre gli altri due lati hanno lunghezza uguale alla lunghezza dei lati del pentagono e quindi variano da 0 a infinito. Esiste quindi una posizione del punto P per la quale la lunghezza di questi ultimi due lati è uguale alla lunghezza degli spigoli dell’icosaedro e quindi i rettangoli diventano quadrati otteniamo quindi un solido archimedeo.