PLS Progetto Archimede

Sapienza, Università di Roma

DAL ICOSAEDRO REGOLARE AL ROMBICOSIDODECAEDRO PER MEZZO DI UN’ESPANSIONE

Tudorache Alexandru

I.T.I.S. Galileo Galilei III L

(Nell’ambito del progetto Matematica creativa)

· Si disegna un icosaedro con il comando predefinito di Cabri 3D.

· Si nasconde il piano fondamentale predefinito di Cabri 3D con il comando "mostra/nascosto".

· Si seleziona l’icosaedro e si sceglie “vuoto” come "stile della superficie”.

· Con il comando "retta", si fa passare una retta r₁ per un vertice e per il suo opposto. Si esegue lo stesso procedimento anche per una seconda retta r₂.

· Il punto O di intersezione delle due rette è il centro del icosaedro.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 1

· Nascondiamo le due rette con il comando "nascondi".

· Tracciamo il triangolo ABC con il comando omonimo.

· Prendiamo la retta r₃ , perpendicolare al triangolo passante per il punto  A del triangolo ABC.

· Vogliamo determinare la semiretta contenuta nella retta r₃ , avente come origine il punto A esterno all’icosaedro.

· Per far ciò dobbiamo determinare un punto di tale semiretta.

· Consideriamo allora la retta passante per il centro dell’icosaedro e perpendicolare al vertice A.

· Prendiamo il punto J ,di intersezione della retta r₃  con il triangolo ABC ,e consideriamo il simmetrico di J rispetto al vertice A, troviamo il punto A’’.

· Tracciamo la semiretta con origine nel vertice A e passante per il punto A’’.

· Prendiamo un qualsiasi punto P di questa semiretta. Consideriamo la traslazione che sposta A in P e trasliamo il triangolo ABC.

· Otteniamo il triangolo PDE.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 2

· Prendiamo la retta r₄ per il centro O e per il vertice A del icosaedro. Con il comando "rotazione" portiamo il punto B nel punto C, (asse di rotazione la retta r₄).

· L’immagine del triangolo ABC è il triangolo ACF.

· L’immagine del triangolo PDE è il triangolo GNM.

· Quest’ultimo è l’espansione del triangolo ACF.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 3

· Ripetiamo il procedimento (rotazione intorno alla retta r₄) altre quattro volte.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 4

· Facciamo la simmetria centrale per il punto O di ogni triangolo.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 5

· Per completare la figura procediamo per rotazioni, costruendo altri due assi passanti per il punto O e per un vertice dell’icosaedro, e per simmetrie rispetto al punto O, ossia il centro del icosaedro.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 6

· Usiamo il comando "poligono" si uniscono tutti i punti espansi da un vertice originario dell’icosaedro ottenendo un pentagono. Ripetiamo questa operazione per tutti i vertici espansi.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 7

· Usiamo il comando "poligono" per unire gli spigoli espansi dell’icosaedro. Otteniamo dei quadrilateri. Ripetiamo l’operazione per tutti i spigoli espansi dell’icosaedro.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 8

Chi è dotato del Plug-in di Cabri 3D, può cliccare sulla figura precedente. Trascinando il punto P di colore rosso si può vedere come varia il poliedro espanso al variare del punto P.

Abbiamo ottenuto un poliedro avente tre tipi di facce:

· Triangoli (sono uguali ai triangoli dell’icosaedro originale)

· Pentagoni (derivanti dalle espansioni dei vertici dell’icosaedro originale)

· Quadrilateri (derivanti dalle espansioni degli spigoli dell’icosaedro originale)

Osserviamo che:

· I triangoli sono tutti equilateri e tutti uguali tra loro dal momento che sono uguali ai triangoli dell’icosaedro originale

· Il pentagono PGWXZ  è regolare perché i suoi punti sono stati ottenuti per successive rotazioni intorno alla retta r₄.  I punti del pentagono appartengono a un piano z perpendicolare alla retta r_4. La retta r₄ interseca il piano z nel punto O’’ centro del pentagono.

Ne risulta la seguente figura:

Figura 9

Utilizzando il Plug-in di Cabri 3D può cliccare sulla figura precedente. Trascinando il punto P di colore rosso può vedere come varia il poliedro espanso al variare del punto P.

Si può dimostrare (noi non lo facciamo) che i quadrilateri sono tutti rettangoli. Due suoi lati sono sempre uguali ai lati dell’icosaedro originale. Gli altri due lati hanno lunghezza variabile al variare del punto P. Mano a mano che il punto P si allontana dal punto A, aumenta la lunghezza di questi ultimi due lati. Pertanto vi sarà una posizione del punto P per la quale quest’ultima lunghezza sarà uguale alla lunghezza degli spigoli dell’icosaedro originale. In tal caso i quadrilateri saranno tutti quadrati uguali. Si osserva che il pentagono PGWXZ è perpendicolare alla retta s passante per il vertice A e per il centro dell’icosaedro. Al variare del punto P sulla retta r₃ varia la lunghezza degli lati del pentagono regolare. Vogliamo determinare il punto P₁ in modo tale che il pentagono blu P₁GWXZ abbia i lati uguali ad un qualsiasi spigolo dell’icosaedro di partenza. Osserviamo che nell’icosaedro di partenza il pentagono viola YUBCF è perpendicolare alla retta s ed ha i lati uguali agli spigoli dell’icosaedro di partenza. Consideriamo allora il cilindro di asse la retta s e passante per Y. Il nostro punto P₁ per il quale l'icosaedro espanso diventa un poliedro archimedeo è il punto di intersezione del cilindro con la retta r₁.

Figura 10

Utilizzando il Plug-in di Cabri 3D si può cliccare sulla figura precedente. Trascinando il punto P di colore rosso si può vedere come varia il poliedro espanso al variare del punto P.

Quando il punto P coincide con il punto P₁ si ottiene il seguente poliedro archimedeo che viene chiamato rombicosidodecaedro.

Figura 11

Utilizzando il Plug-in di Cabri 3D si può cliccare sulla figura precedente. Trascinando il punto P di colore rosso si può vedere come varia il poliedro espanso al variare del punto P.