Domanda

Su una sfera è disegnata una circonferenza. E' possibile disporre una sorgente luminosa puntiforme in modo tale che la circonferenza sia il confine tra la parte illuminata della sfera e quella in ombra? Come? Perché?

Verso la risposta.

Si tratta del problema inverso del problema della domanda precedente.

Prima avevamo la sfera e un punto luce L e dovevamo trovare la circonferenza di confine luce-ombra.

Ora, invece, abbiamo la sfera, una circonferenza di confine luce-ombra sulla sfera e dobbiamo determinare il punto luce L.

Facciamo alcuni esperimenti.

Abbiamo costruito un modello in cui, data una sfera (rappresentata da righe sottili), abbiamo considerato tre suoi punti P₁, P₂, P₃ e la circonferenza passante per essi.

Cliccando sulla figura puoi muovere i punti P₁, P₂, P₃

Ricordando quel che abbiamo visto nella risposta precedente, sappiamo che il punto luce L deve appartenere alla retta r passante per il centro della sfera e perpendicolare al piano α in cui è contenuta la circonferenza. Il centro della circonferenza è dato dall’intersezione del piano α con la retta r.

Cliccando sulla figura puoi muovere i punti P₁, P₂, P₃

Sappiamo poi che, se consideriamo un punto P della circonferenza assegnata e lo facciamo ruotare intorno alla retta r, otteniamo di nuovo la circonferenza assegnata.

Un punto P della circonferenza assegnata è un punto di tangenza tra la sfera e i raggi luminosi passanti per il punto L (che dobbiamo ancora determinare).

Quindi il raggio luminoso r’ passante per P deve essere perpendicolare alla retta s passante per O e P. La retta s deve quindi appartenere al piano β passante per P e perpendicolare alla retta r’.

Il punto L pertanto deve appartenere sia alla retta r che al piano β e quindi L è l’intersezione di r e β.

Cliccando sulla figura puoi muovere i punti P, P₁, P₂, P₃

La retta passante per P e L è un raggio luminoso tangente alla sfera.

Ruotando P si ottengono tutti i raggi luminosi tangenti alla sfera.

Essi formano un cono di vertice L di base la circonferenza iniziale.

Cliccando sulla figura puoi muovere i punti P₁, P₂, P₃