DOMANDA

Una pallina di plastica, per esempio una pallina da ping-pong, è tagliata in due parti.

Che forma ha la curva in cui è effettuato il taglio? Perché?

VERSO LA RISPOSTA

In termini matematici.

Intersecando la sfera con un piano si ottiene una curva. Che curva è?

(Una sfera è vuota dentro. Stiamo cioè considerando solo la superficie esterna.)

Facciamo alcuni esperimenti.

Consideriamo tre punti sulla sfera e consideriamo il piano passante per essi.

Nella figura è evidenziata l’intersezione della sfera con il piano.

Per vedere come varia l’intersezione della sfera con il piano, al variare dei tre punti, clicca sulla figura.

Rendiamo trasparente la sfera.

Il punto C è il centro della sfera.

Per muovere i tre punti che determinano il piano clicca sulla figura.

Ormai è chiaro. Si tratta di una circonferenza.

Come dimostriamo ciò?

Quale è il centro della circonferenza?

Consideriamo la retta passante per C (centro della sfera) e perpendicolare al piano.

Per muovere i tre punti clicca sulla figura.

Ormai è chiaro. Il centro della circonferenza è il punto H di intersezione della retta con il piano.

Per muovere i tre punti clicca sulla figura.

Ora dobbiamo effettivamente dimostrare che l’insieme dei punti P,

appartenenti all’intersezione della sfera con il piano, è una circonferenza di centro H.

Per far ciò dobbiamo dimostrare che la distanza di P da H è costante.

Cliccando sulla figura puoi far variare P e i tre punti che determinano il piano.

Il triangolo CHP è rettangolo in H perché P sta sul piano passante per H e perpendicolare alla retta CH.

Inoltre questo triangolo:

- ha l’ipotenusa PC di lunghezza uguale al raggio della sfera (e quindi la sua lunghezza non varia al variare di P)

- ha anche il cateto CH di lunghezza fissa. Pertanto, per il teorema di Pitagora, la distanza di P da H è costante.

Quindi tutti i punti P appartenenti all’intersezione della sfera con il piano:

- giacciono sul piano,

- hanno distanza uguale da H

pertanto giacciono su una circonferenza di centro H.

RISPOSTA

L’intersezione tra una sfera e un piano è una circonferenza avente come centro la proiezione del centro della sfera sul piano.