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0. Algoritmo di eliminazione di Gauss
   1. Sistemi (di equazioni) lineari e loro soluzioni
   2. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare
   3. Sistemi o matrici a scala e a scala ridotta
   4. Soluioni-base di un sistema omogeneo a scala ridotta
   5. Algoritmo di eliminazione di Gauss
   6. Equivalenza per righe di matrici
   7. Sistemi risolubili e sistemi non-risolubili: Criterio di risolubilità
   8. Struttura delle soluzioni di un sistema risolubil
   9. Comandi MATLAB per risolvere sistemi lineari: \(\texttt{null, rref, linsolve, /} \)
1. Spazi vettoriali
   1. Gruppi, campi, numeri complessi, teorema fondamentale dell’algebra.
   2. Definizione di spazio vettoriale su un campo \(\mathbb K\); Esempi (funzioni a valori in uno spazio vettoriale, \(\mathbb K^n\), vettori geometrici del piano e dello spazio, polinomi, polinomi di grado minore o uguale ad \(n\)).
   3. Combinazioni lineari, combinazioni convesse ed affini.
   4. Sottospazi vettoriali, generatori, Span, Lemma di scambio. Inviluppo convesso. Segmento.
   5. Dipendenza ed indipendenza lineare.
   6. Basi e dimensione, coordinate.
   7. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali; formula di Grassmann; somma diretta di sottospazi vettoriali.
2. Applicazioni lineari
   1. Definizione ed esempi.
   2. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare; teorema della dimensione; rango.
   3. Applicazioni lineari e basi; funzione “coordinate in una base data”.
   4. Matrice associata ad un’applicazione lineare in due basi date; spazio delle colonne di una matrice.
   5. Moltiplicazione righe per colonne di matrici.
   6. Cambiamenti di base. Applicazioni lineari simili e teorema di classificazione.
   7. Algoritmo di eliminazione di Gauss; matrici a scala e a scala ridotta.
   8. Inverse destre e sinistre; inversa di una matrice quadrata; algoritmo di inversione.
   9. Matrici elementari.
   10. Spazio delle righe di una matrice. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.
3. Determinante
   1. Esistenza ed unicità del determinante.
   2. Sviluppi di Laplace.
   3. Teorema di Binet.
   4. Determinante 2 × 2 come area orientata.
   5. Determinante di Vandermonde.
   6. Matrice aggiunta e formula di Cramer.
4. Geometria affine del piano e dello spazio
   1. Sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini.
   2. Sottospazi affini di \(\mathbb R^2\) e loro posizione reciproca. Fasci di rette.
   3. Sottospazi affini di \(\mathbb R^3\) e loro posizione reciproca. Fasci di rette e piani.
5. Sistemi di equazioni lineari
   1. Matrici associate ad un sistema lineare, Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare.
   2. Teorema di Rouché-Capelli.
   3. Teorema degli orlati.
   4. Formula di Cramer per la soluzione di un sistema lineare non-singolare.
6. Spazi Euclidei
   1. Forme bilineari, matrice associata ad una forma bilineare in una base, cambiamento di base e matrici associate a forme bilineari, matrici congruenti.
   2. Forme bilineari simmetriche: Ortogonale di un sottospazio, teorema di decomposizione ortogonale, basi ortogonali, esistenza di una base ortogonale.
   3. Forme bilineari reali: teorema di Sylvester, segnatura di una forma bilineare, basi di Sylvester, due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.
   4. Prodotti scalari (reali), esempi: prodotto scalare standard di \(\mathbb R^n\) , prodotto scalare \(L^2\) , prodotto di Lagrange nei polinomi.
   5. Proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale; Algoritmo di Gram-Schmidt.
   6. Insiemi/basi ortogonali, coefficienti di Fourier.
   7. Distanza tra sottospazi affini.
   8. Norma, distanza tra punti.
   9. Angoli, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, Disuguaglianza triangolare, teorema di Pitagora.
   10. Soluzioni approssimate di un sistema non risolubile di equazioni lineari; equazioni normali di un sistema di equazioni lineari; tecniche di calcolo delle soluzioni approssimate; polinomio approssimante di dati statistici.
7. Geometria euclidea del piano e dello spazio
   1. Versori normali e direttori di una retta del piano e dello spazio; coseni direttori.
   2. Distanza punto-retta nel piano. Bisettrici di un angolo. Asse di un segmento.
   3. Triangoli. Calcolo dell’area di un triangolo. Punti notevoli di un triangolo (circoncentro, incentro, baricentro, ortocentro).
   4. Circonferenze del piano; equazioni parametriche delle circonferenze; retta tangente ad un punto di una circonferenza.
   5. Isometrie del piano.
   6. Distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta nello spazio.
   7. Proprietà focali delle coniche reali non-degeneri. Disegno di una conica reale non-degenere con parte quadratica diagonale.
8. Autovalori ed autovettori:
   1. Definizione ed interpretazione geometrica.
   2. Autospazi; molteplicità geometrica di un autovalore.
   3. Endomorfismi diagonalizzabili.
   4. Teorema spettrale reale.
   5. Teorema di Cayley-Hamilton.
   6. Forme quadratiche definite positive.
   7. Classificazione affine e metrica delle coniche.
9. MATLAB:
   1. Il corso da 2 ore Matlab-Onramp è richiesto all’esame orale.
   2. Matrici simboliche.
   3. Calcolo di una base del nucleo e dell’immagine di una matrice.
   4. Calcolo della forma a scala ridotta di una matrice.
   5. Risoluzione di sistemi lineari, anche con parametro.
   6. Grafici in 2d.
   7. Calcolo del polinomio caratteristico e degli autovalori di una matrice.