Argomenti trattati, fino al 6 maggio (prima dell'esonero)

Mar 4-3: Equazioni di rette nel piano. Coefficiente angolare e quota di una retta. Tabella. Sistemi di equazioni di grado 1 in due incognite, e corrispondenti intersezioni di rette. Sistemi impossibili, sistemi indeterminati, e relative configurazioni di rette. Soluzioni con un parametro. Posizioni reciproche di due o più rette.

Ven 7-3: Vettori. Calcolo di equazioni di rette a partire da due punti, o sfruttando condizioni di parallelismo o perpendicolarità. Distanza tra due punti. Lunghezza di un vettore. Direzione e verso. Vettore formato da due punti ordinati. Vettore direzionale di una retta e vettore perpendicolare. Relazione tra il coefficiente angolare e il vettore direzionale di una retta. Matrici. Matrice associata ad un sistema di due equazioni di rette. Determinante di una matrice quadrata di ordine 2 e formula di Cramer per calcolare l'intersezione di due rette incidenti. Inutilizzabilità della formula di Cramer nel caso di rette parallele o coincidenti.

Mar 11-3: L'equazione di una retta si dice ''cartesiana''. Equazione segmentaria (a partire da un'equazione con i 3 coefficienti non nulli). Fasci di rette. Fascio proprio generato da due rette incidenti. Fascio improprio ed invarianza del coefficiente angolare (o meglio, del vettore direzionale). Equazioni parametriche. Passaggio dalla forma parametrica a quella cartesiana.

Ven 14-3: Passaggio dalla forma cartesiana a quella parametrica di una retta. Calcolo del determinante di una matrice di ordine 3 mediante la regola di Sarrus. Rango di una matrice, mediante l'analisi dei determinanti di sottomatrici. Vettori numerici. Combinazioni lineari di vettori. Combinazioni lineari di equazioni. Vettore generato da altri vettori. Vettori linearmente dipendenti. Il rango è uguale al massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Teorema di Rouché-Capelli per sistemi di equazioni in due variabili.

Mar 18-3: Coppie e triple di numeri come vettori risp. nel piano e nello spazio. Versori. Normalizzazione di un vettore (cioè modifica della sua lunghezza, rendendola unitaria) I versori "i" e "j". Operazioni con i vettori. Regola del parallelogramma. Accorciamento, allungamento, cambiamento del verso di un vettore mediante moltiplicazione per uno scalare. Complanarità e parallelismo di vettori.

Ven 28-3: Versore "k". Punti allineati, punti complanari. Minori. Sistemi lineari in tre o più variabili. Teorema di Rouché-Capelli: uso dei parametri. Metodo della riduzione a scala per i sistemi lineari (primi cenni). Il numero di piloni è uguale al rango. Un'equazione di primo grado in tre variabili rappresenta un piano nello spazio. Al variare del termine noto, il piano viene traslato. La sua "pendenza" dipende invece dalla parte restante dell'equazione. Giacitura. Studio della pendenza della giacitura mediante la tabella (coppie (1,0) e (0,1) ). Le equazioni di due piani paralleli hanno i due vettori dei coefficienti (di x,y,z) proporzionali (rango della matrice incompleta uguale a 1, ma rango della completa uguale a 2).

Mar 1-4: Equazione segmentaria di un piano (a partire da un'equazione con i 4 coefficienti non nulli). Mutue posizioni di piani e relativi sistemi. Riduzione a scala: caso del salto di pilone; casi impossibili (quando l'ultimo gradino si trova nell'ultima colonna). I parametri corrispondono ai non-piloni. Definizione di "infinito alla n" soluzioni.

Ven 4-4: Determinante di una matrice triangolare. Il rango per minori di una matrice ridotta a scala è proprio il numero dei suoi piloni. Conseguenze - delle operazioni per la riduzione a scala - sul determinante di sottomatrici o della matrice intera. Calcolo del determinante riducendo a scala e prendendo nota delle operazioni effettuate. Equazione del piano passante per tre punti dati. Rette nello spazio. Significato geometrico della forma parametrica. La forma parametrica si ottiene da quella cartesiana risolvendo il relativo sistema. Equazioni di una retta passante per due punti dati, o passante per un punto e parallela a un vettore. Formula per il vettore direzionale di una retta. Scelta di un punto di una retta data in forma cartesiana (si pone una variabile ad es. uguale a 0, ma non funziona sempre... ecc.).

Mar 8-4: Equazione del piano passante per due punti e parallelo a un dato vettore, ecc.. Modifica dei termini noti per trovare una retta parallela a quella data (o un piano parallelo, ecc.). Vettore normale a un piano (cenno, vettore (a,b,c)). Parallelismo di un vettore a una retta o a un piano, corrispondente all'annullamento della parte omogenea della, o delle, equazioni. Stelle improprie di rette. Fasci di piani nello spazio (cenno).

Ven 11-4: Fasci propri di piani e loro utilizzo per risolvere problemi in cui un piano deve contenere una data retta. Sistemi omogenei ed esistenza di almeno una soluzione (quella nulla). Cambiamento di riferimento nel piano (rotazione), dai versori i,j a una nuova coppia di versori ortogonali. Matrice del cambiamento di riferimento, e relative formule per passare da un sistema di coordinate all'altro. Notazione con doppi indici, per gli elementi di una matrice. Prodotto di una matrice m*n per un vettore con n componenti; più in generale, prodotto di una matrice m*n per una matrice n*p. Trasformazione di equazioni mediante rotazione. Ellisse in forma canonica (significato di a,b). Rotazione di un'ellisse e comparsa del termine xy. La rotazione di una circonferenza non pregiudica il suo riconoscimento, e il suo studio, poiché la forma della nuova equazione è ancora quella "classica" (cenno).

Mar 15-4: Circonferenza. Equazione canonica e relazioni con il centro e il raggio. Rotazione intorno all'origine di una circonferenza, ed uso delle due matrici del cambiamento di base: una per calcolare le nuove coordinate di punti, una per le nuove equazioni; tali matrici sono una l'inversa dell'altra, cioè il loro prodotto dà la matrice con due 1 sulla diagonale, e due 0 nei restanti posti.

Ven 18-4: Uso del punto mobile su una retta (equazioni parametriche) per impostare alcuni problemi. Discussione di sistemi parametrici mediante l'analisi dei ranghi. Parallelismo tra retta e piano. Matrice inversa e suo calcolo. Prodotto scalare e formula cartesiana (con idea della dim.). Calcolo del coseno dell'angolo tra due vettori. Prodotto scalare di vettori ortogonali o paralleli. Vettore normale a un piano e sua giustificazione mediante il prodotto scalare. Perpendicolarità tra rette e piani nello spazio. Distanza punto-piano (per ora senza dim.).

Mar 22-4: Analisi delle posizioni mutue di due rette nello spazio, mediante il rango. Distanza tra due rette sghembe e anche tra due rette parallele. Formula di Laplace per il determinante. Parallelismo tra una retta e un piano di un fascio proprio, mediante l'annullamento di un certo determinante.

Mar 29-4: Angolo tra 2 piani, cioè l'angolo tra i loro vettori normali. Proiezione di un vettore su una retta (G3). Equazioni degli assi e dei piani coordinati. Coseni e seni di multipli di 30°. Iperbole. Asintoti di un'iperbole.

Ven 2-5: Esercizi di preparazione all'esonero. Discussione e risoluzione di vari problemi. Scrittura matriciale per sistemi. Piano perpendicolare a un vettore e passante per un punto (formula veloce; calcolo di un certo determinante, se è data una retta anziché un vettore)

Mar 6-5: Teorema degli orlati (in particolare nel caso 3x4). Parabola; vertice di una parabola. Definizione di conica mediante il fuoco e la direttrice, e relative formule per fuoco e direttrice nei tre casi. Eccentricità. Equazione di un'ellisse ricavata a partire da fuoco, direttrice ed eccentricità. Se questi tre dati non sono scelti a dovere, l'ellisse risulta ad es. traslata lungo l'asse x, per cui la sua equazione contiene un termine "di disturbo" - il monomio con la x. Infatti le traslazioni provocano l'insorgere di monomi di primo grado, mentre le rotazioni originano i monomi in xy (già visto).